分层模型中的Fisher信息

给定以下层次模型，和其中是正态分布。有没有办法来得到一个确切的表达式的边缘分布的Fisher信息给出。也就是说，什么是Fisher信息：在给定，我可以得到的边际分布的表达式。但是区分wrt 然后接受期望似乎非常困难。我是否缺少明显的东西？任何帮助，将不胜感激。

X \sim N (μ, 1),

$X \sim {\mathcal N}(\mu,1),$

μ \sim L a p l a c e (0, c)

$\mu \sim {\rm Laplace}(0, c)$

N (\cdot, \cdot)

$\mathcal{N}(\cdot,\cdot)$

X

$X$

c

$c$

p (x | c) = \int p (x | μ) p (μ | c) d μ

$p(x | c) = \int p(x|\mu) p(\mu|c) d\mu$

X

$X$

c

$c$

c

$c$

multilevel-analysis information fisher-information

— 真心的
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我自己尝试过，但是这超出了我的能力。绝对值函数破坏了一切！基本上，您只能使用数值方法。

— 概率

@概率只需将积分分为和区域，就可以得到被积分数的表达式；不需要绝对值。但是结果是，和误差函数的有理有理函数，因此不可能以闭合形式积分。

μ \geq 0

$\mu \ge 0$

μ < 0

$\mu \lt 0$

x

$x$

e x p (- x^{2})

$exp(-x^2)$

— ub

@whuber-这就是我所说的“希望”。并不是说积分是不可能的，而是渔夫信息是不可能的。因为您必须对两种类型的积分之比取的期望值

X

$X$

— 概率

在这种情况下，Fisher信息的下限是。与普通的相比，是否有可能在Fisher信息上获得更严格的上界？

1 / (1 + 2 c^{2})

$1/(1+2c^2)$

1 + 1 / c^{2}

$1 + 1/c^2$

— emakalic 2011年

尽管解析解决方案在人类可操作性方面（数学家学科之外）将是一个挑战，但对于近似的计算解决方案是否可以接受？可以进行随机模拟，然后查看拟合的近似值。

— EngrStudent-恢复莫妮卡

您提供的层次模型的Fisher信息没有封闭形式的解析表达式。实际上，Fisher信息只能针对指数族分布进行解析计算。对于指数族，在足够的统计量中对数似然是线性的，并且足够的统计量具有已知的期望。对于其他分布，对数似然度不会以这种方式简化。拉普拉斯分布和分层模型都不是指数族分布，因此解析解决方案将是不可能的。

— 戈登·史密斯
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Normal和Laplace这两个来自指数族。如果您可以用指数形式来写分布，那么fisher信息矩阵就是指数族的对数归一化器的第二个梯度。

— 亚兹迪哈
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我认为通常的两参数Laplace不在指数族中。如果位置参数已知，则它将属于指数族，但我相信

\frac{1}{2} \exp (- | x - μ |)

$\frac12 \exp(-|x-\mu|)$