为什么所有已知分布都是单峰的？

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我不知道任何多峰分布。

为什么所有已知分布都是单峰的？是否有不止一种模式的“著名”发行版？

当然，分布的混合通常是多峰的，但是我想知道是否存在任何不止一种具有多个模式的分布。

distributions mode

— 米罗斯拉夫·萨博（Miroslav Sabo）
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你说的是“标准”的分布，而不是“知”的分布。

— 斯特凡纳·洛朗

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如何测试与？

α = β = 0.5

$\alpha=\beta=0.5$

— 变形虫说恢复莫妮卡

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如果您不介意有限制的双峰分布，则Wikipedia还会提及U-二次分布和反正弦分布。我认为这些只是beta分布的特例，尽管...维基百科还提到了自然出现的多峰分布的一些示例。

— Nick Stauner 2014年

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@StéphaneLaurent：我喜欢“品牌分布”，它表达了被命名本身并不意味着该分布具有任何特殊的地位。“已知”分布听起来好像其余部分可能在附近等待发现的地方，例如尼斯湖怪兽或暗物质。

— Scortchi-恢复莫妮卡

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优秀的@Scortchi，很棒的词汇！我遇到的许多非数学家科学家的印象是，不存在没有名字的分布。也许背后还有一个更深层次的相关哲学事实，一个名字和用这个名字表示的事物的混淆（正如罗素所说，“狗”一词与狗不相似，）

— 史蒂芬·洛朗

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在问题的注释中回答了问题的第一部分：大量的“品牌”分布是多峰的，例如和任何Beta 分布。然后，让我们转到问题的第二部分。 $(a,b)$ $a\lt 1$ $b\lt 1$

所有离散分布显然都是（单峰原子的）混合物。

我将证明大多数连续分布也是单峰分布的混合。这背后的直觉很简单：我们可以一张一张地“抛开”颠簸的PDF图形中的凹凸，直到图形变为水平。凸点成为混合成分，每个成分显然都是单峰的。

因此，除了某些PDF高度不连续的异常分布外，问题的答案是“无”：绝对连续，离散或这两者的组合的所有多峰分布都是单峰分布的混合。

考虑其PDF 连续的连续分布（这些是“绝对连续”分布）。（连续性不是一个很大的限制；仅假设不连续点是离散的，可以通过更仔细的分析来进一步放松它。） $F$ $f$

为了应对可能出现的常数的“平稳”状态，请将“模式”定义为间隔（可能是的单点），这样 $m = [x_l, x_u]$ $x_l=x_u$

对恒定值说。 $f$ $m,$ $y$
在严格包含任何间隔上不是常数。 $f$ $m$
存在一个正数，使得在上获得的的最大值等于。 $\epsilon$ $f$ $[x_l-\epsilon, x_u+\epsilon]$ $y$

令为任何模式。因为是连续的，有间隔含有为其在非降（这是一个适当的间隔，而不仅仅是一个点）和非增在 $m = [x_l, x_u]$ $f$ $f$ $[x_l^\prime, x_u^\prime]$ $m$ $f$ $[x_l^\prime, x_l]$ $[x_u, x_u^\prime]$ （这也是一个适当的时间间隔）。让是所有这些值的infinimum和上确界所有这些价值。 $x_l^\prime$ $x_u^\prime$

这种结构具有上的图形定义的一个“驼峰” 延伸自至。让是较大和。通过构造，点的集合中为其是一个适当的间隔 $f$ $x_l^\prime$ $x_u^\prime$ $y$ $f(x_l^\prime)$ $f(x_u^\prime)$ $x$ $[x_l^\prime, x_u^\prime]$ $f(x)\ge y$ $m^\prime$ 严格含有（因为它包含任一整个的或）。 $m$ $[x_l^\prime, x_l]$ $[x_u, x_u^\prime]$

在该图示中的多峰PDF，一个模式的是通过在横轴上的红色点识别。填充的红色部分的水平范围是间隔：它是由模式确定的驼峰的基部。该驼峰的碱是在高度。原始的PDF是红色填充和蓝色填充的总和。请注意，蓝色填充仅在附近具有一种模式；原始模式在已被删除。 $m=[0,0]$ $m^\prime$ $m$ $y\approx 0.16$ $2$ $[0,0]$

写作对于的长度，定义 $|m^\prime|$ $m^\prime$

p_{m} = {Pr}_{F} (m^{'}) - y | m^{'} |

$p_m = {\Pr}_F(m^\prime) - y|m^\prime|$

和

f_{m} (x) = \frac{f (x) - y}{p_{m}}

$f_m(x) = \frac{f(x) - y}{p_m}$

当且否则。（一下，这使成为连续函数。）分子是升高到以上的量，分母是和的图之间的面积。因此，为非负数，且总面积为：这是概率分布的PDF。通过构造，它具有唯一的模式。 $x \in m^\prime$ $f_m(x)=0$ $f_m$ $f$ $y$ $p_m$ $f$ $y$ $f_m$ $1$ $m$

同样通过构造，功能

f_{m}^{'} (x) = \frac{f (x) - p_{m} f_{m} (x)}{1 - p_{m}}

$f_m^\prime(x) = \frac{f(x) - p_mf_m(x)}{1 - p_m}$

是提供的PDF。（很明显，如果，则上什么也没有它必须是单峰的。）此外，它在区间中没有模（常数是常数，这就是为什么以前仔细定义的情况）一个模式作为间隔是必要的）。此外， $p_m\lt 1$ $p_m=1$ $f,$ $m^\prime$

f (x) = p_{m} f_{m} (x) + (1 - p_{m}) f_{m}^{'} (x)

$f(x) = p_m f_m(x) + (1-p_m)f_m^\prime(x)$

是一个混合的单峰PDF的和PDF。 $f_m$ $f_m^\prime$

用（作为连续函数的线性组合仍然是连续函数，使我们能够像以前一样进行操作）迭代此过程，生成一系列模式 ; 权重的相应序列 ; 和PDF 存在限制结果是因为（a）将平的间隔包括在先前尚未展平的适当间隔 $f_m^\prime$ $m=m_1, m_2, \ldots$ $p_1=p_m, p_2=p_{m_2}, \ldots$ $f_1=f_m, f_2=f_{m_2}, \ldots.$ $f_i$ $i-1$ 操作和（b）实数不能分解成数量多于此类间隔的数。该限制不能有任何模式，因此为常数，必须为零（否则其积分会发散）。因此，被表示为混合信号（也许不是唯一的，因为选择模式的顺序很重要） $f$

f (x) = \sum_{i} p_{i} f_{i} (x)

$f(x) = \sum_i p_i f_i(x)$

单峰分布，QED。

— ub
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就单峰而言，我认为OP明确地意味着只有一种内部模式（即，不包括边角解决方案）。因此，问题实际上是在问……

why is it that brand name distributions do NOT have more than one interior mode?

$\text{why is it that brand name distributions do NOT have more than one interior mode?}$

即为什么大多数品牌名称分布看起来像这样：

...加上或减去一些偏斜或某些间断？因此，当提出问题时，Beta分布将不是有效的反例。

看来，OP的推测有一定道理：大多数常见的品牌名称分配不允许使用多种内部模式。可能有理论上的原因。例如，由于定义整个家族的父代eqn的结果，作为Pearson家族成员（包括Beta）的任何分布都将必然是（内部）单峰的。培生（Pearson）家族嵌套了大多数最著名的品牌名称。

不过，这里有一些品牌计数器示例...

反例

一个品牌反例是带有pdf 的发行版： $\text{Sinc}^2$

f (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{π x^{2}}

$f(x)=\frac{\sin ^2(x)}{\pi x^2}$

在实线上定义。这是 pdf的图： $\text{Sinc}^2$

我们也许还可以添加与此类相关的心电图家族和分布...使用pdf绘图，例如：

反映品牌名称分布的家族也可能是品牌名称竞争者（尽管，这些可能被认为是“欺诈解决方案”……但它们仍然是品牌名称），例如此处显示的Reflected Weibull：

— 狼人
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我的肯定看起来有些负值！（那可能是绘图伪像吗？）……心形分布看起来像它们每个都只有一个内部模式。

{Sinc}^{2}

$\text{Sinc}^2$

— ub

1

嗨，@ whuber ...必须同意绘图人为因素（我将在Mathematica SE上讨论！）。关于心动过血的家庭：想法是可以随心所欲地扩展此类家庭的范围，并且像正弦波一样，它会不断给予:)

— wolfies

1

（+1）这是一个奇怪的伪像：您的最后一张图（具有反射分布）似乎没有展示出来。您可以在绘图中跟踪绘图点的生成，以查看它们的位置。我怀疑轻微的负值可能是少量点样条的超调。

{Sinc}^{2}

$\text{Sinc}^2$

— ub

我认为这仅仅是因为绘制的线比轴线粗，所以当接近零时似乎会“超出”轴线。如果将该线绘制得更细，则伪影会消失。

— 狼人

但是，在您的下图中没有这种伪像，该伪像的线条也比轴粗。

— whuber

3

您可能不会想到任何东西并不意味着没有任何东西。

我可以命名不是单峰的“已知”分布。

例如，一个和均的Beta分布。 $\alpha$ $\beta$ $<1$

http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution

也看到

http://en.wikipedia.org/wiki/U-quadratic_distribution

（尽管有这样的评论，但这并不是beta发行版的特殊情况。但是，这两个家族有些重叠。）

混合物分布当然是已知的，其中许多是多峰的。

— Glen_b-恢复莫妮卡
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U二次方是截断的Beta分布。

— becko '18

1

Alpha偏态正态分布（Elal-Olivero 2010）具有PDF：

\frac{{(1 - α \frac{x - μ}{σ})}^{2} + 1}{2 + α^{2}} φ (\frac{x - μ}{σ}),

$\frac{\left(1-\alpha\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2+1}{2+\alpha^2} \varphi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),$

$\varphi$

$|\alpha|>1.34$ $\mu=1,\sigma=0.5,a=2$

— corey979
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