澄清信息几何

全文如下。

令是具有坐标系统的维概率分布流形，其中假设 ... $S^n=\{p_{\theta}\}$ $n$ $\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$ $p_{\theta}(x)>0$

我们可以把每一个点的作为承载功能的 ... $\theta$ $S^n$ $\log p_{\theta}(x)$ $x$

让是切空间在，这一点，粗略地说，有一小附近的线性化版本标识在。令是与协调系统关联的的自然基础... $T_{\theta}$ $S^n$ $\theta$ $\theta$ $S^n$ $e_i(\theta), i=1,\dots,n$ $T_{\theta}$

由于每个点的携带功能的，很自然地认为在作为表示函数 $\theta$ $S^n$ $\log p_{\theta}(x)$ $x$ $e_i(\theta)$ $\theta$

e_{i} (θ) = \frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x) .

$e_i(\theta)=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x).$

我不明白最后的陈述。这出现在上述论文的第2节中。上式如何给出切线空间的基础？如果该社区中熟悉此类材料的某人可以帮助我理解这一点，将会很有帮助。谢谢。

更新1：

尽管我同意（来自@aginensky），如果是线性独立的，则由于它们也是线性独立的，所以这些切线空间的成员首先是如何的还不是很清楚。因此如何将视为切线空间的基础。任何帮助表示赞赏。 $\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}$ $\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$ $\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$

更新2：

@aginensky：Amari在他的书中说：

让我们考虑以下情况：，上所有（严格）正概率度量的集合，其中我们将视为。实际上，是仿射空间一个开放子集。 $S^n=\mathcal{P}(\mathcal{X})$ $\mathcal{X}=\{x_0,\dots,x_n\}$ $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ $\mathbb{R}^{\mathcal{X}}=\{X\big|X:\mathcal{X}\to \mathbb{R}\}$ $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ $\{X\big |\sum_x X(x)=1\}$

然后切空间的每一点可以自然地与所确定的线性子空间。对于coordiante系统的自然基础，我们有。 $T_p(S^n)$ $S^n$ $\mathcal{A}_0=\{X\big |\sum_x X(x)=0\}$ $\frac{\partial}{\partial\theta_i}$ $\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$ $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})_{\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}$

接下来，就让我们再嵌入，并确定与该亚群的。的切线矢量然后通过操作的结果表示到，我们通过表示。特别是，我们有。显然和 $p\mapsto \log p$ $S^n$ $\log S^n:=\{\log p\big |p\in S^n\}$ $\mathbb{R}^{\mathcal{X}}$ $X\in T_p(S^n)$ $X$ $p\mapsto \log p$ $X^{(e)}$ $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})_{\theta}^{(e)}=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$ $X^{(e)}=X(x)/p(x)$

T_{p}^{(e)} (S^{n}) = {X^{(e)} | X \in T_{p} (S^{n})} = {A \in R^{X} | \sum_{x} A (x) p (x) = 0} .

$T_p^{(e)}(S^n)=\{X^{(e)}\big |X\in T_p(S^n)\}=\{A\in \mathbb{R}^{\mathcal{X}}\big |\sum_x A(x)p(x)=0\}.$

我的问题：如果和都是切线空间的基础，那么这不会与事实和是不同的和？ $\frac{\partial}{\partial\theta_i}$ $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})^{(e)}$ $T_p$ $T_p^{(e)}$ $\frac{\partial}{\partial\theta_i}^{(e)}\in T_p^{(e)}$

我猜想（）和之间似乎存在关联。如果您可以澄清这一点，将有很大帮助。您可以给出答案。 $S^n,T_p$ $(\log S^n,T_p^{(e)})$

— 阿肖克
source

我个人理解您的困惑。对于切线空间使用坐标“似乎是不自然的。您的问题是本地的，因此我们将作为本地坐标。切线空间的通常坐标为。给定光滑度的合理条件，不消失的导数等，则根据链式规则，一个方法是切线空间的标准基础，然后将其乘以函数，一般来说，它仍将是基础。

e_{i} (θ) = \frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x)

$e_i(\theta)=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x)$

θ_{i}

$\theta_{i}$

\frac{\partial}{\partial θ_{i}}

$\frac{\partial}{\partial\theta_i}$

p_{θ}

$p_{\theta}$

— meh 2014年

为了清晰起见，我试图编辑我的评论，但不允许这样做。如果您需要更多详细信息，请告诉我。

— meh 2014年

谢谢@aginensky：您的意思是，因为，这也是切线空间的基础，对吗？

\frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x) = 1 / p_{θ} (x) \frac{\partial}{\partial θ_{i}} p_{θ} (x)

$\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x)=1/p_{\theta}(x)\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}(x)$

— Ashok 2014年

最后的陈述是切线空间的一个定义的（损坏的）版本。严格来说，可微流形点上的切线空间是（向量空间），它是该点附近具有可微函数的细菌派生空间的对偶空间。对偶的基础是，根据定义，是对偶的基础。此材料的标准参考文献是Michael Spivak的“ 差分几何”的第1卷，amazon.com /…。

{d θ_{i}}

$\{d\theta_i\}$

{\frac{\partial}{\partial θ_{i}}}

$\{\frac{\partial}{\partial\theta_i}\}$

— whuber

@ Ashok-是的我会认为我写的内容是基于切线空间定义的简洁版本。当然，由于余切空间是切空间的对偶空间，因此人们可以同样认为是真正的对偶基础。无论如何只要不消失，我认为你很好。

d θ

$d\theta$

p_{θ}

$p_{\theta}$

— meh 2014年

我的评论很长，我将其作为答案。

在这一点上，我认为这个问题比数学更具哲学性。也就是说，您所说的空间是什么，在这种情况下是流形？歧管的典型定义不涉及嵌入仿射空间。这是“现代”（150岁？）方法。例如，对于高斯而言，流形是具有特定嵌入特定仿射空间（）的流形。如果一个人以特定的嵌入的歧管，则切空间（在歧管中的任何点）同构的切线空间的一个特定的子空间在该点。注意，在任何点与的切线空间都用“相同”标识。 $R^n$ $R^n$ $R^n$ $R^n$ $R^n$

我认为重点在于，在Amari文章中，他所指的空间带有一些“自然”嵌入仿射空间，其坐标为，可以考虑将用作坐标作为切线空间上的坐标。我可能会补充说，只有在某种意义上函数是“通用”的情况下才是显而易见的- 对于退化，这将失败。例如，如果函数未包含所有变量。要点是，流形在特定中的嵌入引起了的切线空间的特定标识。 $S^n$ $\theta_{i}$ $p_{\theta}$ $S^n$ $p$ $p$ $\theta_{i}$ $R^n$ $p_{\theta}$ 。他的下一点是，由于的性质，他可以使用对数函数将其流形映射到另一个仿射空间，在该仿射空间中，切线空间在新坐标（对数及其导数）方面具有不同的标识。然后他说，由于他的情况的性质，这两个流形是同构的，并且地图在切线空间上引起了同构。这导致两个切线空间的标识（即同构）。 $p$

关键思想是，两个切线空间不是相同的集合，而是在正确识别后是同构的（对于“相同”，基本上是希腊语）。例如，的所有排列的组是否与的所有排列的组“相同” ？作为一个简单的思想实验，请考虑，即映射到的正实数，即映射日志下的所有实数。选择您喜欢的实数然后考虑切线空间上的地图。我终于明白了你的问题吗？需要注意的是，微分几何不是我主要的专业领域。我认为我做对了，但是随时可以批评或仍然质疑这个答案。 $\{1,2,3\}$ $\{a,b,c\}$ $R^{+}$ $R$ $>0$

— h
source

您对“同构”的含义尚不完全清楚，但似乎只是一个非常微弱的含义。也就是由可逆微分映射的前推给出的值，它只是一些可逆线性变换。做几何的关键思想是获得在歧管上定义的有意义且有用的黎曼度量。“同构”的相关含义是等轴测图：也就是说，切线空间之间的贴图必须保持距离。

f_{*}

$f_{*}$

— whuber

@whuber。确实，我的评论只是关于情况和切线空间的微分几何。我完全不清楚将地图设为等轴测图需要在上的哪些条件。但是据我了解的问题，实际上是在弄清标识（“相同”）和同构之间的区别。

p

$p$

— meh 2014年

@whuber：此处相关的黎曼度量由，其中。这是否暗示也可以视为切向量？

G = [g_{i, j}]

$G=[g_{i,j}]$

g_{i, j} = \sum_{x} \partial_{i} p_{θ} (x) \partial_{j} \log p_{θ} (x)

$g_{i,j}=\sum_x\partial_i p_{\theta}(x)~\partial_j\log p_{\theta}(x)$

\partial_{j} \log p_{θ}

$\partial_j\log p_{\theta}$

— Ashok