博彩公司对足球比赛赔率定价错误的可能性是多少？

一个英国足球队与能力不同的不同对手进行一系列比赛。庄家会为每场比赛提供赔率，包括是主场胜利，客场胜利还是平局。在整个赛季的中途，这支球队参加了场比赛，并吸引了其中的k场，这超出了预期。$n$$k$

庄家对这些比赛的赔率定价错误而不仅仅是不幸的概率是多少？如果博彩公司继续以类似的方式为球队剩余的比赛定价，而我押注$\$1$每笔都将是平局，那么我的预期收益是多少？

问题的答案复杂地取决于您将使用哪些信息和假设。这是因为游戏的结果是非常复杂的过程。它可能会变得非常复杂，这取决于您所拥有的信息：

1. 特定团队中的球员-也许甚至是特定的球员组合也可能是相关的。
2. 其他球队的球员
3. 联盟的过去历史
4. 球队球员的稳定性如何-球员会不断被选中和被淘汰吗？还是一样的11。
5. 您下注的时间（比赛期间？之前？之前多少？从之前的投注到当日的投注丢失了哪些信息？）
6. 我已经省略了足球的其他一些相关功能。

博彩公司给出的赔率并不反映博彩公司赔率。如果它们是概率，那是不可能的。庄家会在有人下注时降低赔率，而在有人下注时则将赔率提高。因此，赔率是赌徒（使用赌注者）的整体赔率的反映。因此，不是博彩公司本身会定价错误，而是赌博集体-或“平均赌徒”。

现在，如果您愿意假设导致平局的任何“因果机制”在整个赛季中保持不变（合理吗？可能不是...），那么就可以得到一个简单的数学问题（但是请注意，没有理由这样做）比其他一些简化的假设“更正确”。为了提醒我们，这是使用的假设，将在概率的条件方面加在此假设下，二项式分布适用：$A$

$$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$$

我们要计算以下内容

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$$ $$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$$

其中

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$$

是的后验。现在，在这种情况下，很明显有可能发生平局，也有可能不发生，因此采用统一的先验是合适的（除非我们希望在本赛季的结果之外包括更多信息） ），然后设置。然后通过beta分布给出后验值（其中是beta函数）$\theta$$P(\theta|A)=1$$B(\alpha,\beta)$

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$$

给定和，下一场比赛为平局的概率仅为因此积分变为：$\theta$$A$$\theta$

$$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$$

因此，概率为：

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$$

但是请注意，这取决于所做的假设。所谓的“价格优势”在其他一些未知的复杂信息的概率条件，说。因此，如果公布的赔率是在上述分数相同，那么这表示，和导致不同的结论，这样既不可能是正确的关于“真正的结局”（但两者可以是对有条件的假设每人发）。$A$$B$$A$$B$

杀手吹

此示例表明，您的问题的答案归结为决定在描述足球比赛的机制方面是否比更为“准确” 。 无论命题发生什么，都会发生这种情况。我们将始终简单地问一个问题：“谁的假设是正确的，是赌博集团的还是我的？” 最后一个问题基本上是无法回答的问题，除非您确切地知道命题包含什么（或至少它的一些关键特征）。您如何才能将已知事物与非已知事物进行比较？$A$$B$ $A$ $B$

更新：实际答案：）

正如@whuber亲切指出的那样，我实际上并没有给出期望的值-因此，这部分只是完成了我的回答部分。如果有人假设是正确的，且赔率为，那么您会期望在下一个游戏中获得 $A$ $Q$

$$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$$ $$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

现在，如果您假设的值与您的模型基于相同的模型，那么我们可以准确预测在未来的变化方式。假设基于统一值之前的其他值，例如，则对应的概率为$Q$$Q$$Q$$Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

用的预期收益

$$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

现在，如果我们使“重”为 ，其中为季节的长度（这将使“错过的定价”持续到季节的剩余时间），并且将预期收益设为零，我们得到：$\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$$N$

$$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$$

（注意：除非是实际模型，否则将取决于此计算的完成时间，因为它取决于，该值会随时间而变化）。现在，我们能够预测如何将调整未来，它将增加分母的每场比赛，以及到分子，如果比赛是平局。因此，首场比赛后的预期赔率是：$\alpha_Q$$n,k,Q$$Q$$1$$1$

$$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$ $$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$$

那就是整个赛季赔率不会有太大变化。使用该近似值，我们可以得出本季剩余时间的预期收益：

$$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

但是请记住，这是基于平局的过于简单的模型（请注意：这不一定意味着它将成为“废话”预测变量）。您的问题没有唯一的答案，因为没有指定的模型，也没有指定的先验信息（例如，有多少人使用该博彩公司？博彩公司的营业额是多少？我的投注将如何影响其赔率？）。唯一指定的是一个季节的数据，对于“某些未指定的模型”，该概率与赔率定价所隐含的概率不一致。

庄家使用翻倍，因此他们实际上不关心结果是什么，因为他们赢了什么。这就是为什么你永远不会遇到一个贫穷的赌徒。如果庄家定价错误，您的获利能力将取决于庄家提供的赔率以及所产生的利润是否能弥补您的损失。