极值的分布

如果项遵循正态分布，则平均值也遵循正态分布。最小和最大呢？

您应该查看订单统计信息。这是一个非常简短的概述。

$X_{1}, \ldots X_{n}$$n$$F$$f$$Y_{1}=X_{(1)}, \ldots, Y_{r} = X_{(r)}, \ldots, Y_{n}=X_{(n)}$$X_{(r)}$$r$$X_{1}, \ldots X_{n}$$r$

$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$

$f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(y_{1}, \ldots, y_{n}) = n! \prod_{i=1}^{n} f(y_{i})$$y_{1} < y_{2} < \ldots < y_{n}$$0$

通过积分前面的方程，我们得到

$f_{X_{(r)}}(x) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r)!} f(x) (F(x))^{r-1} (1 - F(x))^{n - r}$

特别是，对于最小值和最大值，我们分别具有

$f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) (1 - F(x))^{n-1}$

$f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) (F(x))^{n - 1}$

$n\rightarrow\infty$

高斯的总和就是高斯。这就是为什么平均值是正常的。（有限多个）高斯函数的任何非线性函数的分布不必是高斯分布，通常不是。最大功能就是这种情况。要近似多元高斯的最大值，Hothorn是一个不错的起点。