Cauchy分布中的位置参数的MLE

居中后，可以将两个测量值x和-x假定为具有概率密度函数的柯西分布的独立观测值：

$f(x :\theta) =$ ，-∞<x<$1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

表明，如果的MLE θ是0，但如果X 2 > 1有两个MLE的θ，等于± $x^2≤ 1$$\theta$$x^2>1$$\theta$$\sqrt {x^2-1}$

我认为要找到MLE，必须区分对数可能性：

=Σ2（X我-θ$dl\over d\theta$ $=\sum$ =2（-X-θ$2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ +2（x-θ$2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ =$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

所以，

=2（x+θ$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

然后我简化为

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

现在我撞墙了。我可能在某个时候出错了，但是无论哪种方式，我都不确定如何回答这个问题。有人可以帮忙吗？

您的计算中有一个数学错字。为最大的一阶条件是：

$$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$$

$x^2\leq 1$$\hat \theta =0$

$x^2 >1$$2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$$\theta =0$

$$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$$

$\hat \theta =0$

附录

$x =\pm 0.5$

$x =\pm 1.5$

现在您所要做的就是以代数形式证明它，然后想知道“好吧，现在我应该选择两者中的哪一个？”