汉密尔顿·蒙特卡洛（Hamiltonian Monte Carlo）：如何解读“大都市-哈斯特”提案？
我想了解汉密尔顿·蒙特卡洛（HMC）的内部工作原理，但是当我们用Metropolis-Hasting提案取代确定性时间积分时，无法完全理解该部分。我正在阅读Michael Betancourt撰写的引人入胜的入门论文《哈密尔顿蒙特卡洛概念概论》，因此我将沿用其中的相同符号。 背景 马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）的总体目标是逼近目标变量的分布。π(q)π(q)\pi(q)qqq HMC的想法是引入辅助的“动量”变量以及与建模为“位置” 的原始变量结合。位置-动量对形成一个扩展的相空间，可以用哈密顿动力学来描述。联合分布可以用微规范分解来表示：pppqqqπ(q,p)π(q,p)\pi(q, p) π(q,p)=π(θE|E)π(E)π(q,p)=π(θE|E)π(E)\pi(q, p) = \pi(\theta_E | E) \hspace{2pt} \pi(E)， 其中表示给定能级上的参数，也称为典型集合。参见图21和图22进行说明。θEθE\theta_E(q,p)(q,p)(q, p)EEE 原始的HMC程序包括以下两个交替步骤： 在能量水平之间执行随机过渡的随机步骤，以及 确定性步骤，沿着给定的能量水平执行时间积分（通常通过跳跃式数值积分实现）。 在本文中，有人认为越级跳跃（或辛积分器）具有小的误差，会引入数值偏差。因此，与其将其视为确定性步骤，不如将其转变成Metropolis-Hasting（MH）提案以使该步骤成为随机步骤，并且所产生的过程将从分布中产生确切的样本。 MH提案将执行步越级操作，然后反转动量。然后，该提案将以以下接受概率被接受：LLL a(qL,−pL|q0,p0)=min(1,exp(H(q0,p0)−H(qL,−pL)))a(qL,−pL|q0,p0)=min(1,exp(H(q0,p0)−H(qL,−pL)))a (q_L, -p_L | q_0, p_0) = min(1, \exp(H(q_0,p_0) - H(q_L,-p_L))) 问题 我的问题是： 1）为什么将确定性时间积分转换为MH提议的这种修改会消除数值偏差，以使生成的样本完全符合目标分布？ 2）从物理学的角度来看，能量在给定的能量水平上是守恒的。这就是为什么我们能够使用汉密尔顿方程的原因： dqdt=∂H∂p,dpdt=−∂H∂qdqdt=∂H∂p,dpdt=−∂H∂q\dfrac{dq}{dt} = \dfrac{\partial H}{\partial p}, \hspace{10pt} \dfrac{dp}{dt} = -\dfrac{\partial H}{\partial q}。 从这个意义上说，能量在典型集合上的任何地方都应该恒定，因此应当等于。为什么在能量上存在差异，可以构造接受概率？H(q0,p0)H(q0,p0)H(q_0, p_0)H(qL,−pL)H(qL,−pL)H(q_L, …