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如何有效地建模伯努利随机变量的总和？
我正在建模一个随机变量（），它是大约15-40k个独立的伯努利随机变量（）的总和，每个随机变量具有不同的成功概率（）。形式上，其中和\ Pr（X_i = 0）= 1-p_i。YYYXiXiX_ipipip_iY=∑XiY=∑XiY=\sum X_iPr(Xi=1)=piPr(Xi=1)=pi\Pr(X_i=1)=p_iPr(Xi=0)=1−piPr(Xi=0)=1−pi\Pr(X_i=0)=1-p_i 我对快速回答诸如Pr(Y<=k)Pr(Y<=k)\Pr(Y<=k)（其中kkk给出）的查询感兴趣。 目前，我使用随机模拟来回答此类查询。我根据每个XiXiX_i的p_i随机绘制它们pipip_i，然后将所有XiXiX_i值求和以获得Y′Y′Y'。我重复此过程数千次，然后返回分数Pr(Y′≤k)Pr(Y′≤k)\Pr(Y'\leq k)。 显然，这并不是完全准确的（尽管随着仿真次数的增加，准确度也会大大提高）。另外，似乎我有足够的有关分布的数据来避免使用模拟。您能想到一种获取确切概率\ Pr（Y \ leq k）的合理方法Pr(Y≤k)Pr(Y≤k)\Pr(Y\leq k)吗？ ps 我使用Perl＆R。 编辑 在回答之后，我认为可能需要进行一些澄清。我将简短地描述问题的所在。给定的是一个带有周长的圆形基因组，c以及n映射到它的一组范围。例如c=3*10^9和ranges={[100,200],[50,1000],[3*10^9-1,1000],...}。请注意，所有范围都是封闭的（两端都包括在内）。另请注意，我们仅处理整数（整个单位）。 我正在寻找圆上被给定n映射范围掩盖的区域。因此，为了测试x圆上给定的长度范围是否被掩盖，我测试了n范围随机映射的假设。映射的长度范围q>x将完全覆盖给定长度范围的概率x为(q-x)/c。当c大和/或小时，该概率变得非常q小。我感兴趣的是n覆盖的范围数（超出范围）x。这是如何Y形成的。 我测试了原假设与单方面的选择（不足覆盖率）的对比。另请注意，我正在测试多个假设（不同的x长度），请确保对此进行更正。