我头上有星星吗？

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假设我站直，我从核心到头顶（垂直于地面）画一条直线。那条线与星星相交的概率是多少？

编辑：我不是想排除任何星星。这应该包括我们已经观测到的恒星和尚未观测到但可以根据我们确定的其他因素（例如宇宙的整体恒星密度）进行预测的恒星。此外，它应包括所有恒星，而不管肉眼大小的限制。

— 用户名
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3

大概你是说一颗裸眼的恒星？随着幅度极限朝着较弱的恒星增加，该概率将非常接近1 ...

— astrosnapper

2

@astrosnapper并不明显，因为宇宙的年龄有限。

— 史蒂夫·林顿

15

摘要

站在银河系外的恒星下的概率为5,000亿分之一，站在银河系恒星下的概率为33亿分之一，而在太阳底下则为18.4万的概率为右现在。

大，胖，发臭，警告！我尽力保持数学水平，但这就是我刚想到的所有内容。我不保证它是完全准确的，但是数字似乎通过了健全性检查，所以我认为我们很好。

_{首先警告：除太阳以外的恒星数量是基于具有很大不确定性的数据得出的，例如宇宙中的恒星数量和恒星的平均大小。上面的数字在任何一个方向上都很容易偏离10倍，仅用于粗略地了解空间的大小。}

_{注意第二点：太阳和银河系的数字是基于您站在（或漂浮在）地球上任意点的假设。热带地区以外的任何人都永远不会凌驾太阳。北半球的人更有可能在他们的头顶上有银河系恒星，最有可能出现在北纬36.8°附近的人，因为在该纬度上，每天一次会向上直升穿过银河系中心。²⁶}

_{注意：您几乎可以忽略此答案中的所有内容，而只需抬起太阳的立体角即可获得相同的结果。所有其他恒星确实都非常遥远并且非常分散。当我们将宇宙的其余部分添加到太阳时，对向的立体角的差异要大百分之五十分之一。}

背景

让我们尝试获得一个现实的，困难的数字。为此，我们需要一些假设。

正如迈克尔·沃尔斯比（Michael Walsby）的回答¹所指出的那样，如果宇宙是无限的（并且是齐次的²），那么只有极小的机会不会有恒星开销，正常数学将其视为零机会。因此，我们假设宇宙是有限的。

推定

具体来说，我们假设宇宙仅由可观察的宇宙组成。（查看Universe ³的扩展以获取更多信息。）
此外，让我们假设可观察的宇宙的内容是在其当前（假定）位置而不是它们看起来所在的位置处测量的。（如果我们从宇宙开始后的4亿年中看到一颗恒星发出的光，我们可以将其测量为距地球约135亿光年，但我们估计由于膨胀，它可能更接近450亿光年。）
我们将可观测宇宙中的恒星数设为 $10^{24}$ 。2013年的估计数⁴是 $10^{21}$ ，2014年的估计数⁵是 $10^{23}$ ，而2017年的估计数⁶是 $10^{24}$ ，每篇文章都希望随着我们使用更好的望远镜的不断发展，估计数会增加。因此，我们将采用最高价值。
我们将采用可观察到的宇宙的大小⁷为 $8.8\cdot10^{26} \text{m (diameter)}$ ，得到表面积⁸的 $2.433\cdot10^{54} \text{m}^2$ ⁹和音量¹⁰的 $3.568\cdot10^{80} \text{m}^3$ ¹¹。
我们将采取一个明星的平均大小为太阳的大小， $1.4\cdot10^{9}\text{m (diameter)}$ ¹²。（我找不到任何有关平均恒星大小的资料，只是太阳是一颗平均恒星。）

模型

从这里开始，我们要作弊。实际上，我们应该分别为每个星系建模。但是，我们只是假装整个宇宙是完全统一的（这是正确的，因为在宇宙的宏伟计划中，我们离地球越来越远）。此外，我们将开始计算足够远的距离，以完全忽略银河系和太阳，然后稍后通过不同的计算将它们重新添加。

鉴于以上假设，我们可以轻松地计算出可观测宇宙的恒星密度为 $\delta = \frac{10^{24}\text{stars}}{3.568\cdot10^{80} m^3} = 2.803\cdot10^{-57} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$ ¹³。

接下来，我们需要计算一个星对着的立体角¹⁴。球体的立体角由下式给出 $\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-r^2}}{d}\right)\text{ sr}$ ¹⁵，其中 $\Omega$ 是球面弧度¹⁶（sr）的立体角， $d$ 是到球体的距离， $r$ 是球体的半径。使用 $D$ 作为直径，即转换为 $\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-\left(\frac{D}{2}\right)^2}}{d}\right)\text{ sr}$ 。鉴于上述（推定平均直径 $1.4\cdot10^{9}\text{m}$ ），这给出的平均立体角 $\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d}\right)\text{ sr}$ ¹⁷。

在这一点上，我们可以建立一个适当的积分，但是我的演算是相当生锈的，一开始并不十分敏锐。因此，我将使用一系列同心壳来近似估算答案，每个壳的厚度为 $10^{22}\text{m}$ （约一百万光年）。我们将会把我们的第一壳 $10^{22}\text{m}$ 走，然后从那里出来我们的方式。

我们将计算每个壳的总立体角，然后将所有壳加在一起以得到整个可观察宇宙对向的立体角。

最后要解决的问题是重叠。较远的壳中的某些恒星将与附近的壳中的恒星重叠，从而使我们高估了总覆盖率。因此，我们将计算任何给定恒星重叠的概率，并从那里修改结果。

我们将忽略给定壳内的任何重叠，进行建模，就好像壳中的每个恒星都处于固定距离并均匀分布在整个壳中。

重叠概率

为了使给定的恒星与更接近的恒星重叠，它必须处于已经被更接近的恒星覆盖的位置。为了我们的目的，我们将重叠视为二进制：星完全重叠或完全不重叠。

概率将通过立体角已经由先前的壳由在天空中（总固角除以所对的量被给予 $4\pi\text{ sr}$ ）。

让我们叫的概率给定的明星， $i$ ，重叠 $P_i$ ，由明星所对的立体角 $\Omega_i$ ，和星数 $n$ 。由给定的壳所对非重叠的立体角的量， $k$ ，然后 $\Omega_{kT}=(1-P_1)\Omega_1+(1-P_2)\Omega_2+\ldots+(1-P_n)\Omega_n\frac{\text{ sr}}{star}$ 。既然我们已经说过分在壳不彼此重叠， $P_i$ 是所有相同 $i$ 在给定的壳，允许我们上述等式简化为 $\Omega_{kT}=(1-P_k)(\Omega_1+\Omega_2+\ldots+\Omega_n)\frac{\text{ sr}}{star}$ ，其中 $P_k$ 是重叠的壳用概率 $k$ 。由于我们处理所有的星星为具有相同的，平均尺寸，这简化甚至进一步 $\Omega_{kT}=(1-P_k)\Omega_k n\frac{\text{ sr}}{star}$ ，其中 $\Omega_k$ 是在外壳的明星的立体角 $k$ 。

计算立体角

壳中的恒星数由壳的体积乘以所述壳的恒星密度得出。对于较远的壳体，我们可以将壳体的体积视为其表面积乘以其厚度。 $V_\text{shell}=4\pi d^2 t$ ，其中 $d$ 是所述壳的距离和 $t$ 是其厚度。用 $\delta$ 作为恒星密度，恒星的数目就是 $n=\delta V_\text{shell}=\delta 4\pi d^2 t$ 。

从这里开始，我们可以使用计算的壳的立体角（从重叠的概率，上述），以获得 $\Omega_{kT}=(1-P_k)\Omega_k \delta 4\pi d^2 t\frac{\text{ sr}}{star}$ 。

注意， $P_k$ 由所有先前壳的立体角的部分总和除以总立体角得出。而 $\Omega_k$ 由下式给出 $\Omega_k=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right)\frac{\text{ sr}}{star}$ （来自上面的Model）。

这给我们 $\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right) \delta 4\pi d^2 t\text{ sr}$ 。给定每个壳的距离为 $10^{22}\text{m}$ ，我们可以用代替 $d_k$ 。同样，可以替换为。我们已经计算出 $k 10^{22}\text{m}$ $t$ $10^{22}\text{m}$ $\delta=2.803\cdot10^{-57} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$ （来自上面的Model）。

这给我们
$\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{(k 10^{22}\text{m})^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{k 10^{22}\text{m}}\right) 2.803\cdot10^{-57}\frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 4\pi (k 10^{22}\text{m})^2 10^{22}\text{m}\frac{\text{ sr}}{star}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\left(1-\frac{\sqrt{k^2 10^{44}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{22}}\right) 2.803\cdot10^{-57} 8\pi^2 k^2 10^{66}\text{ sr}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\,2.213\cdot 10^{11}\,k^2\left(1-\frac{\sqrt{k^2 10^{44}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{22}}\right)\text{ sr}$

从这里，我们可以将数字插入计算程序中。

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{k_\text{max}} \Omega_{kT}$

其中 $k_\text{max}$ 只是可观察宇宙的半径除以给定壳的厚度。因此 $k_\text{max}$ $=\frac{4.4\cdot 10^{26} \text{m}}{10^{22} \text{m}}$ $=4.4\cdot 10^4$ $=44000$

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{44000} \Omega_{kT}$

结果

由于涉及的数量众多，因此很难仅在程序中运行它。我诉诸使用ttmath库¹⁸编写大量数字的自定义C ++程序。其结果是 $2.386\cdot 10^{-11}\text{ sr}$ ，或 $1.898\cdot 10^{-12}$ 整个天空。相反，您现在站在星空下的概率约为5,000亿分之一。

请注意，我们为此忽略了银河系和太阳。

_{可以在PasteBin ^25中找到C ++程序。您必须使ttmath正常工作。我在C ++代码的顶部添加了一些说明，以帮助您入门（如果您愿意使其工作的话）。它不是优雅的，也不是什么，仅足以发挥作用。}

太阳

WolframAlpha的有益告诉我的太阳大约有立体角 $6.8\cdot 10^{-5}\text{ sr}$ ，或比宇宙合并所有的星星多约2.8万次。如果我们提供太阳的150吉米距离和0.7吉米半径，则上面的立体角公式将给出相同的答案¹⁸。

银河

通过获取银河系的大小和密度，并进行与上述相同的计算，除较小的比例尺外，我们可以获得银河系的近似值。但是，银河系非常平坦，因此赔率很大程度上取决于您是否碰巧站在银河系平面上。另外，我们偏向一侧，因此朝向银河系中心的恒星远多于远离恒星的恒星。

如果我们近似星系与半径的气缸 $5\cdot 10^{20}\text{ m}$ （约52000光年）和高度 $2\cdot 10^{16}\text{ m}$ （约2光年），我们得到的体积 $1.571\cdot 10^{58}\text{ m}^3$ ²⁰。

_{目前对银河半径的估计接近100000光年^{21 22}，但我认为绝大多数恒星比这要近得多。}

银河系²¹估计有100至4000亿颗恒星。让我们为我们的目的选择2000亿。这使银河的密度在 $\delta = \frac{200\cdot10^{9}\text{stars}}{1.571\cdot 10^{58}\text{ m}^3} = 1.273\cdot10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$ ²²，即比整个宇宙大约45亿倍的密度。

这次，我们将拿起 $10^{17}\text{ m}$ 厚（约10光年）的贝壳，然后从那里出去。但是我们需要将数学重新组织为球形，因此我们假设银河系具有相同的体积，但它是一个球形。这使得它的半径 $1.554\cdot 10^{19}\text{ m}$ ²⁴，或155.4壳。我们将舍入到155枚炮弹。

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{155} \Omega_{kT}$

使用上面的公式（计算立体角），我们可以开始替换数字。

$\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right) \delta 4\pi d^2 t\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{(k\cdot 10^{17}\text{ m})^2-4.9\cdot10^{17}\text{ m}^2}}{k\cdot 10^{17}\text{ m}}\right) 1.273\cdot10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 4\pi (k\cdot 10^{17}\text{ m})^2 10^{17}\text{ m}\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\left(1-\frac{\sqrt{k^2\cdot 10^{34}\text{ m}^2-4.9\cdot10^{17}\text{ m}^2}}{k 10^{17}\text{ m}}\right) 1.273\cdot 10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 8\pi^2 k^2 10^{51}\text{ m}^3\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\cdot\,1.005\cdot 10^6\,k^2\,\left(1-\frac{\sqrt{k^2\cdot 10^{34}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{17}}\right)\text{ sr}$

$3.816\cdot 10^{-9}\text{ sr}$ $3.037\cdot 10^{-10}$

立体角总计

立体角为：

$6.8\cdot 10^{-5}\text{ sr}$
$3.816\cdot 10^{-9}\text{ sr}$
$2.386\cdot 10^{-11}\text{ sr}$
$6.800384\cdot 10^{-5}\text{ sr}$ （额外的数字是毫无意义的基本上，加入约千分之五％，至太阳的立体角）
$3.840\cdot 10^{-9}\text{ sr}$

参考文献

— 迈克尔·S
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评论不作进一步讨论；此对话已转移至聊天。

— 称为2voyage

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简而言之：没人能确定，但是目前看来该概率为1。

更长：根据我们目前的理解，宇宙可能在空间上是无限的。这取决于最近的WMAP卫星结果，该结果显示宇宙的零曲率低于测量精度。其他两个选项是正曲率（因此，我们将使用4D球体）或负曲率：

如果曲率恰好为零（图片中的最后一个选项），或者为负，并且宇宙没有奇异的拓扑，则它是无限的。

无限宇宙有无数个恒星，因此，无论您在哪里看到恒星，都无关紧要。

但是，很可能您没有选择实际上看到它-它几乎肯定在宇宙学的视野内，因此由于宇宙的膨胀，无法从其中获取任何信息或以任何方式与之交互。请注意，当前加速的膨胀持续减少了宇宙视界内的恒星数量。

没有普遍的扩展，整个天空将充满恒星，并且比太阳还轻（Olbers paradoxon）。

$\approx$ $\approx 10^{13}$ $\approx 10^7$

— 用户名
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评论不作进一步讨论；此对话已转移至聊天。

— 称为2voyage

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难道“开销”是指在中心你的头，或在某些部分你的头？如果我们假设是后者，那将改变问题！

我不想在上面概述所有MichaelS的出色工作，因此我将从他的数字中进行快速的信封计算。

$17cm$ $0.03m^2$

$500\cdot 10^{12} m^2$

$6\cdot 10^{-17}$

$10^{24}$

— 杰夫
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4

也许吧。

至少有两种方式回答问题。一种是问您写问题时的坐标是什么，以及确切的时间。然后，我们需要在模型中画一条线，以查看您击中的对象以及这些命中的对象是否都是星星。这假设一个完整的地图，这是一个问题。答案对于地球上的每个人都是不同的，并且不断变化。如果我们在星际飞船中，这将成为正确的问题。考虑到广阔的空间，最好问“直到我们撞到东西要走多远”。

另一个答案是关于概率的。一颗星星直接在头顶上的频率是多少？我会建议一种推理的方式。似乎有很多限制因素。我也会指出其中一些。

首先，进行肠道检查。我们的太阳一直一直在头顶上方，直抵地球的大部分区域。太阳相对较近，因此覆盖范围很特别。尽管如此，仍有数万亿其他恒星覆盖了地球的其余部分。

这个问题的一个很好的细节是您正在想象的线是否与星星相交。我的意思是抽象线是否穿过恒星质量的任何部分，而不仅是恒星的质量中心或其他中心。

如果“宇宙中心”甚至没有任何意义，很可能我们不在宇宙中心。可以争论（争论），我们处于可观察宇宙的中心，这主要是因为我们在用相同的有限齿轮朝各个方向看。因此，我们可以想象一个巨大的可观察性领域，只是为这个问题提供了一定的空间。想象一下自己像一个漂浮在大气球中心的沙粒。实际上，沙粒与任何实际气球的比例都太大了，但可以想象一下，我们正处在气球死角的小颗粒上。

$1.1\times 10^{26}$ $4\pi r^2$ $64\pi$ $\pi$

想象一下，这是我们从气球中心注视着的区域，它位于我们微小且不可能同心的沙粒上。我们一次只能看到一半的面积（实际上甚至更少），但是我们在旋转。因此，我们可以在一天内对气球的整个内表面进行绘制。

因此，在这种沙子规格下，我们正在看气球的可见部分。我们中的一个人拥有激光指示器，可以使用它指向气球的不同部分并进行讨论。实际上，想象一下激光指示器具有一种“光笔”模式，可以用来在气球表面上绘制铭文可能会很有趣。在夜空中涂上你的名字会很漂亮。为了便于说明，您必须想象这些具有形而上学特性的道具。我们并不真正关心电笔。只是想像我们正在画线。

现在想象一下，我们试图按比例将所有可观测宇宙中的所有物体放置在气球中，或者出于疑问，仅将星星放置在气球中。我们会将所有内容准确地放置在气球中相对于有利位置的位置。

现在，我们可以一次查看一次，然后逐一考虑每个星星。每次检查恒星时，我们都可以用激光笔在它上面画一条线。我们可以使用光笔通过激光指示器追踪恒星的轮廓，在其后面的气球表面上刻一个小圆圈。每次对特定的恒星执行此操作时，都会在气球上添加一个圆圈，以绘制恒星的平面图。我们可以一一处理每个星星，然后消灭每个星星，直到气球再次变空。只是我们，回头看看我们制作的地图。

现在，假设气球最初是红色的，而我们的光笔则是绿色的。假设我们画的绿色圆圈是彩色的，充满了绿色。处理完所有星星之后，气球内部遍布绿色点。每个绿点的大小首先是恒星大小的函数。较大的星星倾向于在地图上绘制相对较大的圆圈。

这种类比在许多方面都不完美。在重要方面这是不完美的。如果您想象我们正在以圆周运动跟踪星星，这是自然的，那么我们将使地图变形。当我们做圆周运动时，手中的光笔的角度会投影很大的距离。出于其他原因，该地图可能会很有趣，但是我们正在尝试仅识别与我们一致的区域，即处于“下方”的恒星。我们希望恒星的实际大小在地图上，而不是相对于我们与恒星之间距离的大小。

为了保持真实，我们将不得不想象我们的地图上只是有一个圆，其中心与我们和它所代表的星星在一条线上。恒星圆的大小就是它的实际大小。我们的太阳大约在139万公里处，因此它绘制的圆在我们的地图上将具有此直径。这是点的区域，无论距离多远，它们之间都会一直与我们之间形成一条直线，从而使恒星成为“架空”的候选者。

用一种思维方式，在给定时间是否至少一颗星星可能在头顶上的答案是，地图上红色和绿色的比例。整个地图中有多少是绿色的？这大概是我们随时与一颗星星保持一致的可能性。

如果我们要继续沿概率线前进，那么这将是获取每个可观察恒星的平均大小，计算平均直径，将其乘以恒星数量并获得估计面积的时间。因为我们将三个或四个维度展平为两个，并且没有考虑重叠，所以这将是疯狂的。不幸的是，开销的重叠似乎并不一致。请注意，在仰望夜空时，我们可以看到银河系，我们也参与其中。

另外，要获得这些平均值，您必须真正彻底索引可观察的宇宙。很多人已经为此工作了很长时间，但是它非常大。因此，如果我们有足够的数据来对诸如恒星大小之类的东西具有合理的平均数，那么我们也可能会忘记平均数并绘制实际地图。我们也将采用这种方式来处理重叠的圆圈。当我们在查看时，完全忘记了地图。只需将手机中的GPS输入地球模型中的位置即可确定界限并检查上方的所有物体。这是我们开始面对的真正问题，只是意识到宇宙的巨大性是如此之大，以至于检查什么开销所需的计算的半径可能比可观测的宇宙的半径短。

最近我还读到，宇宙（这些是猜测和论点）可能比我们观察到的至少大250倍。我也读过地球是平坦的。也许宇宙无限进行。关于这一点的推理将具有相似的边界条件。

最好的选择是实际将您的位置输入模型并限制模型，以便您可以进行合理的快速计算。将问题更改为：“给定空间和计算边界，这条直线上最近的星星是什么？”您将不得不接受一个超出可计算范围甚至可见范围之外的地方，可能仍然存在一颗星星。

— 凯帕罗
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1

$4\pi r^2$

4 π r^{2}

$4\pi r^2$

非常好。谢谢！

— keparo

1

恒星的角大小是我们要投影到气球上的大小，而不是线性大小。如果恒星距离为0，则它将占据一半的天空（假设此处的地面算作“天空”），但是如果距离为无穷远，则它将占据零的天空。如果气球始终在所考虑的最远星外，您的解决方案将大大低估绿色的数量。

— MichaelS

-1

悖论成名的奥尔伯斯认为，如果宇宙是无限的，则任何方向的视线最终都将到达恒星。为什么从理论上讲应该像白天一样明亮，所以夜晚的天空如此之暗？抛开这个特定问题，我们无法证明宇宙是无限的，但是它足够大，以至于任何方向的直线迟早都要到达恒星的表面。所讨论的线条是否仅需经过几十光年才能到达恒星或数十亿，取决于您所站的位置以及在特定的时刻选择绘制线条。如果您恰好在一年中的正确时间和一天中的正确时间到达赤道，那么这条直线可能只需要经过八光分钟多一点就能到达一颗恒星。在纸上，相对于宇宙，

— 迈克尔·沃尔斯比
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4

这种推论是完全错误的。即使您拥有无限的宇宙，也可能不会有无限的星星。此外，即使你有无限多的恒星的宇宙无限，但仍有分布，使得任何给定的线击中星的概率最终是0

— 卡尔-弗雷德里克·尼伯格Brodda

1

@ Carl-FredrikNybergBrodda：请注意，奥尔伯悖论是基于同质和各向同性的概念，这些概念合称为宇宙学原理。即使没有逻辑上的保证，也通常假定它是正确的。2016年的这篇论文建议采用各向同性的几率是120000：1。

— MichaelS

5

这里没有零的证据或理由来证明宇宙是“足够大”的。多大才够大？

— 核王