有多少个这样的职位?(棋/数学将死拼图)


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我对这种职位感兴趣:

板上只有4件。如果白人先走,他们可以一check而就。如果黑人先走,他们可以一check而就。例如:

例

问题是:有多少个这样的职位?

我发现3个主要职位:

在此处输入图片说明

他们每个人都给我们另外6个职位。我们可以将黑色女王的起始位置移动到其他6个正方形。因此,我们有21个基本职位。

在此处输入图片说明

还有其他基本职位吗?

对于每个基本职位,我们可以:

1)开关颜色x2

2)旋转板子x4

3)后视镜位置x2

因此,一个基本位置会生成2x4x2 = 16个位置。最终答案是:有16x21 = 336个这样的位置。

这是正确的吗?

Answers:


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下图表示您的第二个基本职位允许您提供的变量之外的其他4种变量:

NN-NN

这样一来,“基本职位”的总数就达到了25个。这种增加是否使清单详尽无遗,我不确定(尽管我认为确实如此)。

在任何情况下,无论基本位置数是多少,您都可以从此处推断位置总数(x2用于颜色开关,x8用于板变换)是正确的,因为棋盘的对称组确实具有阶数8 ,证实对p.334 本章约束的编程手册,例如。(不过,这里确实需要谨慎地进行计数;请参阅下文。)因此,目前我推测答案是25 x 16 = 400。


我添加此数学题是因为从您的个人资料中可以看出,您有兴趣进一步研究数学。我可能在这里没有说您尚未意识到的任何事情,但是无论如何,这里还是会发生的。

请注意,在棋盘的不同对称下,有些棋位置会完全相同。例如,考虑在a1-h8对角线上反射的行为。板的对称性通常会改变给定位置,例如

一个位置

变成

改变位置

但是,当然有些位置(即那些仅在a1-h8对角线上只有部分的位置)在这种对称性下不会发生变化,例如,位置

另一个位置

当我们在对角线上反射时保持不变。

由于这种行为,通常需要注意不要过度计数这种计数问题。对于您的问题,这意味着要确保您的基本职位在任何(非同一性)对称性下都不会重复,因此当从基本职位的数量中获取职位总数时,我们的“ x 16”不会盘算。在当前情况下,您的基本位置非常复杂/不对称,以至于直观上很清楚,在这些对称条件下,它们都不会重复出现,因此无需担心,但是在数学中,通常情况是“直觉上清晰”的一个人需要最担心错误。(实际上,有一种说法是,如果您想在数学证明中发现错误,请从上面写着“很明显……”的地方开始)


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我已经通过计算机搜索确认,这400个职位是唯一涉及的职位KkQq,而我手工看不到任何“棘手”的方式(例如,涉及KkPqKkNq),所以我也认为上述解决方案是完整的,是“正好400”。
Quuxplusone
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