挑战

给定一个p具有阶1和度的实系数的n多项式，求另一个q度数的多项式最多n使得(p∘q)(X) = p(q(X)) ≡ X mod X^(n+1)，或者换句话说，使得p(q(X)) = X + h(X)其中h是一个任意多项式ord(h) ≥ n+1。多项式q由唯一确定p。

对于一个多项式p(X) = a(n)*X^n + a(n+1)*X^(n+1) + ... + a(m)*X^m，其中n <= m和a(n) ≠ 0，a(m) ≠ 0我们说n是为了中p和m是度的p。

简化：您可以假设它p具有整数系数，并且a(1)=1（so p(X) = X + [some integral polynomial of order 2]）。在这种情况下，q也具有积分系数。

简化的目的是避免浮点数的问题。但是，出于说明目的，有一个非整体示例。

例子

• 考虑泰勒级数的exp(x)-1 = x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + ...和ln(x+1) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...那么很明显ln(exp(x)-1+1)= x。如果仅考虑这两个函数的4级的泰勒多项式，我们将得到以下表示法（请参见测试用例）p = [-1/4,1/3,-1/2,1,0]，q = [1/24, 1/6, 1/2, 1,0]并且(p∘q)(X) ≡ X mod X^5

• 考虑多项式p(X) = X + X^2 + X^3 + X^4。然后q(X) = X - X^2 + X^3 - X^4我们得到

  (p∘q)(X) = p(q(X)) = X - 2X^5 + 3X^6 - 10X^7 +...+ X^16 ≡ X mod X^5
  

测试用例

这里，输入和输出多项式被写为系数列表（最高阶多项式的系数在前，常数项在后）：

p = [4,3,2,0];  q=[0.3125,-.375,0.5,0]

整体测试用例：

p = [1,0]; q = [1,0]

p = [9,8,7,6,5,4,3,2,1,0]; q = [4862,-1430,429,-132,42,-14,5,-2,1,0]

p = [-1,3,-3,1,0]; q = [91,15,3,1,0]

Python 2 + sympy，128个字节

我们通过假设q（x）= x，将其与p组成，检查x ²的系数，然后从q中减去它，来局部地多项式求逆。假设系数为4，则新的多项式变为q（x）= x-4x ²。然后，我们再次用p进行组合，但查找x ³的系数。等等...

from sympy import*
i=input()
p=Poly(i,var('x'));q=p*0+x
n=2
for _ in i[2:]:q-=compose(p,q).nth(n)*x**n;n+=1
print q.all_coeffs()

Mathematica，45个字节

Normal@InverseSeries[#+O@x^(#~Exponent~x+1)]&

是的，Mathematica具有内置功能。

未命名函数将变量的多项式作为输入x，例如-x^4+3x^3-3x^2+x对于最后一个测试用例，并返回具有相似语法的多项式，例如x+3x^2+15x^3+91x^4对于最后一个测试用例。

#+O@x^(#~Exponent~x+1)将输入#转换为幂级数对象，以的程度截断#；InverseSeries做到了它所说的；并将Normal得到的截断的幂级数转换回多项式。（如果可以x+3x^2+15x^3+91x^4+O[x]^5接受格式的答案，我们可以节省前7个字节。的确，如果输入和输出都可接受的格式，那么InverseSeries仅一个13字节的解决方案。）

JavaScript（ES6），138个字节

a=>a.reduce((r,_,i)=>[...r,i<2?i:a.map(l=>c=p.map((m,j)=>(r.map((n,k)=>p[k+=j]=m*n+(p[k]||0)),m*l+(c[j]||0)),p=[]),c=[],p=[1])&&-c[i]],[])

@orlp的答案的端口。I / O采用相反顺序的系数阵列形式，即前两个系数始终为0和1。

Pari / GP，29个字节

p->Pol(serreverse(p+O(x^#p)))

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