背景

可以证明，对于任何整数k >= 0，f(k) = tan(atan(0) + atan(1) + atan(2) + ... + atan(k))都是有理数。

目标

编写一个完整的程序或函数，如果给定k >= 0，f(k)则将其输出为单个减少的分数（分子和分母为互质数）。

测试用例

前几个值是

f(0) = (0,1)
f(1) = (1,1)
f(2) = (-3,1)
f(3) = (0,1)
f(4) = (4,1)
f(5) = (-9,19)
f(6) = (105,73)

规则

• 禁止出现标准漏洞。
• 输入和输出可以采用任何方便的格式。您可以将其输出f(k)为字符串numerator/denominator，两个整数的元组，分数或有理对象等。如果输出字符串，则仅提供两个整数，即输出3/2而不是1 1/2。
• 这是代码高尔夫球，最短的答案（以字节为单位）获胜。

M，11个字节

×C÷@+
R0;ç/

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x(n) = (x(n-1)+n)/(1-n*x(n-1))与一起使用OEIS公式x(0) = 0。

Mathematica，28个字节

Fold[+##/(1-##)&,0,Range@#]&

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更长但更有趣的方法（32字节）：

Im@#/Re@#&@Product[1+n I,{n,#}]&

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Python 2，76 72个字节

from fractions import*
f=lambda k:Fraction(k and(k+f(k-1))/(1-k*f(k-1)))

使用身份：

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))

我们有：

f(k) = 0                                    if k = 0
     = (k + f(k - 1)) / (1 - k * f(k - 1))  if k > 0

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感谢Luis Mendo，节省了4个字节。

APL（Dyalog），14字节

要求⎕FR←1287（128位˚F loating点- [R epresentation）为小的输入。注意到k作为右边的参数。

1(∧÷,)3○¯3+.○⍳

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⍳ 整数1到k0（因为0 = arctan 0，所以不需要零）

¯3+.○ 反正切线之和

3○ 切线

1(… ) 应用以下默认函数，其中1作为左参数，而上面的作为右参数：

 ∧ 最小公倍数（1和正确的参数）；给出分子

 ÷ 除以

 , 串联（1和正确的参数）；给出分子和分母

Haskell，52个字节

这使用OEIS系列扩展：

import Data.Ratio
f 0=0%1
f n|p<-f$n-1=(p+n)/(1-n*p)

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或无积分版本：

(scanl1(\f n->(f+n)/(1-n*f))[0%1..]!!)

JavaScript（ES6），80个字节

f=n=>n?([a,b]=f(n-1),g=(a,b)=>a?g(b%a,a):b,c=g(d=b*n+a,e=b-n*a),[d/c,e/c]):[0,1]

返回一个[分子，分母]对。说明：f(n-1) = a/b然后f(n) = atan(tan(n)+tan(a/b)) = (n+a/b)/(1-n*a/b) = (b*n+a)/(b-n*a)。然后，仍然需要将分数降低到最低水平。

在线ES6环境

Pari / GP，36字节

n->imag(x=prod(i=0,n,1+i*I))/real(x)

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或相同的长度：

n->fold((x,y)->(x+y)/(1-x*y),[0..n])

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05AB1E，33 26字节

0X)Iƒ©`N*+®`sN*-‚D¿D_i\¤}/

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说明

0X)                          # initialize stack with [0,1]
   Iƒ                        # for N in range [0 ... input] do:
     ©                       # store a copy of the current pair in the register
      `                      # push the pair separately to the stack
       N*                    # multiply the denominator with N
         +                   # add the numerator
          ®`s                # push the denominator then the numerator to the stack
             N*              # multiply the numerator by N
               -             # subtract it from the denominator
                D¿D          # get 2 copies of the greatest common divisor
                   0Qi  }    # if the gcd equals 0
                      \¤     # replace it with the denominator
                         /   # divide the pair with this number

八度，30字节

format rat
tan(sum(atan(0:k)))

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Casio-Basic，35个字节

tExpand(tan(sum(seq(tan⁻¹(n),n,0,k

tan ^-1应该作为Trig键盘上的数字输入；或^-1可以与abc>数学键盘分开输入。根据fx-CP400的手册，它是一个两个字节的字符（764）。

功能，代码为34个字节，添加为+1个字节 k参数。

说明

seq(tan-1(n),n,0,k) 生成所有值 tan-1(n)从0到k的。

sum 将它们全部加在一起，然后 tan对它们执行切线功能。

tExpand 然后将它们变成单个分数。

朱莉娅0.6.0 40字节

k->rationalize(tan(sum(x->atan(x),1:k)))

这是问题的直接实现。合理化的准确性有时可能很奇怪，但在99％的时间中效果很好。