Chebyshev多项式是一个正交多项式的族，它们在数学中的各个位置弹出，它们具有许多非常有趣的属性。它们的一个特征是它们是满足的唯一多项式。Tn(cos(x)) = cos(n*x)

挑战

给定一个非负整数n，您应该输出n-th Chebyshev多项式。。Tn(x)

定义

该n个切比雪夫多项式由以下三个递推公式给出：

T0(x) = 1
T1(x) = x
Tn+1(x) = 2*x*Tn(x) - Tn-1(x)

细节

如果您的语言具有本机多项式类型，则可以将其用作输出，否则应按升序或降序输出系数列表，或将其作为代表多项式的字符串输出。

例子

T0(x) = 1
T1(x) = x 
T2(x) = 2x^2 - 1
T3(x) = 4x^3 - 3 x
T4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1
T5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x
T10(x) = 512x^10 - 1280x^8 + 1120x^6 - 400x^4 + 50x^2 - 1

在降序列表格式中，我们得到，而在升序列表格式中，我们得到T3(x) = [4,0,-3,0]T3(x) = [0,-3,0,4]

Mathematica，15个字节

#~ChebyshevT~x&

当然，Mathematica具有内置功能。

如果允许使用其他输入形式（10个字节）：

ChebyshevT

接受一个整数n和一个变量。

八度，39字节

@(n)round(2^n/2*poly(cos((.5:n)/n*pi)))

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说明

cos((.5:n)/n*pi)用多项式的根构建一个向量，由

poly给出具有这些根的单项多项式。2^n/2根据需要乘以比例系数。round即使数值精确，也要确保结果是整数。

Pari / GP，12字节

是的，内置的。比Mathematica短。

polchebyshev

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没有内置：

Pari / GP，34个字节

f(n)=if(n<2,x^n,2*x*f(n-1)-f(n-2))

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Haskell，62个字节

t n|n<2=1:[0|n>0]|x<-(*2)<$>t(n-1)++[0]=zipWith(-)x$0:0:t(n-2)

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骗子节省了一个字节。

CJam（21字节）

1a2,qi{0X$+2f*@.-}*;`

这是一个完整的程序：与匿名块等效的长度是相同的：

{1a2,@{0X$+2f*@.-}*;}

在线演示

Python + SymPy，66字节

from sympy.abc import*
T=lambda n:n<2and x**n or 2*x*T(n-1)-T(n-2)

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递减系数表示

from sympy import*
x=symbols('x')
T=lambda n:n<2and x**n or expand(2*x*T(n-1)-T(n-2))

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SageMath，25个字节

lambda n:chebyshev_T(n,x)

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MATL，17个字节

lFTi:"0yhEbFFh-]x

系数以递增的顺序输出。

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说明

对于输入n，代码将n次应用递归关系。最近的两个多项式始终保留在堆栈中。计算新多项式时，最早的多项式将被删除。

最后，显示倒数第二个多项式（删除了最后一个多项式），因为我们进行了太多次迭代。

l        % Push 1
FT       % Push [0 1]. These are the first two polynomials
i:"      % Input n. Do the following n times
  0      %   Push 0
  y      %   Duplicate most recent polynomial
  h      %   Concatenate: prepends 0 to that polynomial
  E      %   Multiply coefficients by 2
  b      %   Bubble up. This moves second-most recent polynomial to top
  FF     %   Push [0 0]
  h      %   Concatenate: appends [0 0] to that polynomial
  -      %   Subtract coefficients
]        % End
x        % Delete. Implicitly display

果冻，18字节

Cr1µ’ßḤ0;_’’$ß$µỊ?

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以升序返回系数列表。

还有一种针对具有浮点错误的17个字节的解决方案。

RḤ’÷Ḥ-*ḞÆṛæ«’µ1Ṡ?

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说明

Cr1µ’ßḤ0;_’’$ß$µỊ?  Input: integer n
                Ị   Insignificant - abs(n) <= 1
                    If true, n = 0 or n = 1
   µ                  Monadic chain
C                       Complement, 1-x
 r1                     Range to 1
                    Else
               µ      Monadic chain
    ’                   Decrement
     ß                  Call itself recursively
      Ḥ                 Double
       0;               Prepend 0
         _              Subtract with
            $             Monadic chain
          ’’                Decrement twice
              $           Monadic chain
             ß              Call itself recursively

Ruby + 多项式，59 58 + 13 = 72 71字节

使用-rpolynomial标志。

f=->n{x=Polynomial.new 0,1;n<2?[1,x][n]:2*x*f[n-1]-f[n-2]}

J，33字节

(0>.<:)2&*1:p.@;9:o._1^+:%~1+2*i.

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假设浮点错误是可以接受的，并创建表情符号 (0>.<:)

对于41个字节，还有另一种避免浮动的解决方案。

(0&,1:)`(-&2((-,&0 0)~2*0&,)&$:<:)@.(>&1)

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Python 2，79字节

f=lambda n:n>1and[2*a-b for a,b in zip([0]+f(n-1),f(n-2)+[0,0])]or range(1-n,2)

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公理，40字节

f(n,x)==(n<2=>x^n;2*x*f(n-1,x)-f(n-2,x))

结果

(9) -> for i in [0,1,2,3,4,5,10] repeat output ["f(y)",i,"=", f(i,y)]
   ["f(y)",0,"=",1]
   ["f(y)",1,"=",y]
                   2
   ["f(y)",2,"=",2y  - 1]
                   3
   ["f(y)",3,"=",4y  - 3y]
                   4     2
   ["f(y)",4,"=",8y  - 8y  + 1]
                    5      3
   ["f(y)",5,"=",16y  - 20y  + 5y]
                      10        8        6       4      2
   ["f(y)",10,"=",512y   - 1280y  + 1120y  - 400y  + 50y  - 1]
                                                               Type: Void

可以在f（）函数上方为cos（n * x）的展开定义公理中使用的公式的一个替换定律，其中n是一个整数

(9) -> o:=rule cos(n*%y)==f(n,cos(%y))
   (9)  cos(%y n) == 'f(n,cos(%y))
                    Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
                                                              Time: 0 sec
(10) -> b:=o cos(20*x)
   (10)
                 20                18                16                14
     524288cos(x)   - 2621440cos(x)   + 5570560cos(x)   - 6553600cos(x)
   +
                  12                10               8              6
     4659200cos(x)   - 2050048cos(x)   + 549120cos(x)  - 84480cos(x)
   +
               4            2
     6600cos(x)  - 200cos(x)  + 1
                                                 Type: Expression Integer
                       Time: 0.48 (EV) + 0.02 (OT) + 0.10 (GC) = 0.60 sec

C＃（.NET Core），126字节

f=n=>n==0?new[]{1}:n==1?new[]{0,1}:new[]{0}.Concat(f(n-1)).Select((a,i)=>2*a-(i<n-1?f(n-2)[i]:0)).ToArray();

字节数还包括：

using System.Linq;

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函数以升序（从x^0到x^n）将多项式作为系数数组返回

说明：

f = n =>                          // Create a function taking one parameter (int)
    n == 0 ? new[] { 1 } :        // If it's 0, return collection [1]
    n == 1 ? new[] { 0, 1 } :     // If it's 1, return collection [0,1] (so x + 0)
    new[] { 0 }                   // Else create new collection, starting with 0
        .Concat(f(n - 1))         // Concatenate with f(n-1), effectively multiplying polynomial by x
        .Select((a, i) => 2 * a - (i < n - 1 ? f(n - 2)[i] : 0))
                                  // Multiply everything by 2 and if possible, subtract f(n-2)
        .ToArray();               // Change collection to array so we have a nice short [] operator
                                  // Actually omitting this and using .ElementAt(i) is the same length, but this is my personal preference

JavaScript（ES6），65个字节

f=n=>n?n>1?[0,...f(n-1)].map((e,i)=>e+e-(f(n-2)[i]||0)):[0,1]:[1]

低效率的大n。有趣但令人遗憾的是效率低下：

n=>[...Array(n+1)].map(g=(m=n,i)=>i<0|i>m?0:m<2?i^m^1:g(m-1,i-1)*2-g(m-2,i))

68字节非常有效：

f=(n,a=[1],b=[0,1])=>n?f(n-1,b,[0,...b].map((e,i)=>e+e-(a[i]||0))):a

以升序返回系数数组。