正整数的分区号定义为可将其表示为正整数之和的方式数。换句话说，它具有整数分区的数量。例如，数字4具有以下分区：

[[1，1，1，1]，[1，1，2]，[1，3]，[2，2]，[4]]

因此，它具有5分区。这是OEIS A000041。

任务

给定正整数N，确定其分区号。

• 所有标准规则均适用。

• 输入和输出可以通过任何合理的方式进行处理。

• 这是code-golf，因此以字节为单位的最短代码获胜。

测试用例

输入| 输出量

1 | 1个
2 | 2
3 | 3
4 | 5
5 | 7
6 | 11
7 | 15
8 | 22
9 | 30
10 | 42

Pyth，3个字节

l./

在这里尝试！或尝试测试套件。

答案比格式化代码本身花费更长的时间：P。

怎么样？

Pyth是完成这项工作的正确工具。

l。/带有隐式输入的完整程序。

 ./整数分区。返回所有添加到输入的正整数排序列表。
l长度
      隐式输出结果。

Mathematica，11个字节

PartitionsP

说明

¯\_(ツ)_/¯

Python 2中，85 83个字节

-2个字节，感谢@notjagan

lambda n:n<1or sum(sum(i*((n-k)%i<1)for i in range(1,n+1))*p(k)for k in range(n))/n

在线尝试！

使用OEIS A000041中的递归公式。

Emojicode 0.5，204个 201字节

🐋🚂🍇🐖🅰️➡🚂🍇🍊⬅🐕1🍇🍎1🍉🍮s 0🔂k⏩0🐕🍇🍦t➖🐕k🍮r t🔂i⏩1 t🍇🍊😛🚮t i 0🍇🍮➕r i🍉🍉🍮➕s✖r🅰️k🍉🍎➗s🐕🍉🍉

在线尝试！

通过使用“小于或等于1”而不是“小于2”来获得-3个字节，因为“小于”表情符号具有相当长的UTF-8编码。还进行t了冻结以使警告静音而不影响字节数。

用名为🅰️的方法扩展🚂（整数）类。您可以编写一个简单的程序，该程序从输入中获取一个数字，然后在数字上调用🅰️并输出如下结果：

🏁🍇
 🍦str🔷🔡😯🔤Please enter a number🔤
 🍊🍦num🚂str 10🍇
  😀🔡🅰️num 10
 🍉🍓🍇
  😀🔤Learn what a number is, you moron!🔤
 🍉
🍉

可以通过省略消息和错误处理来进行很多操作，但是它不包含在乐谱中，因此我宁愿显示Emojicode的更多功能，同时在整个过程中提高可读性。

不打高尔夫球

🐋🚂🍇
 🐖🅰️➡🚂🍇
  🍊◀️🐕2🍇
   🍎1
  🍉
  🍮sum 0
  🔂k⏩0🐕🍇
   🍦nmk➖🐕k
   🍮sig nmk
   🔂i⏩1 nmk🍇
    🍊😛🚮nmk i 0🍇
     🍮➕sig i
    🍉
   🍉
   🍮➕sum✖sig🅰️k
  🍉
  🍎➗sum🐕
 🍉
🍉

说明

注意：在emojicode 0.5中，很多表情符号选择没有太大意义。毕竟是0.x。0.6将解决此问题。

Emojicode是一种面向对象的编程语言，具有泛型，协议，可选和闭包，但是该程序不使用闭包，并且所有泛型和协议都可以视为隐式的，而唯一的可选出现在I / O存根中。

该程序仅适用于以下几种类型：🚂是整数类型，🔡是字符串类型，⏩是范围类型。也会出现一些布尔值（👌），但它们仅在条件中使用。布尔值可以取👍或👎的值，分别对应于true和false。

Emojicode当前没有运算符，因此通常作为运算符的加法，比较和其他运算均作为函数实现，从而有效地使表达式使用前缀表示法。运营商也计划在0.6。

让我们首先解决测试程序。

🏁

这是🏁块，可以与其他语言的main块进行比较。

🍇 ... 🍉

葡萄和西瓜在emojicode中声明代码块。

🍦str🔷🔡😯🔤Please enter a number🔤

这将声明一个名为“ frozen”的名称str，并将其值设置为使用初始化程序（构造函数）😯创建的新字符串，该字符串以提示符作为字符串，然后从用户输入一行。为什么使用冻结而不是变量？它不会改变，因此变量将发出警告。

🍊🍦num🚂str 10

让我们分解一下。🚂str 10在str带有参数10 的冻结对象上调用🚂方法。按照约定，以类型名称命名的方法会将对象转换为该类型。10是用于整数转换的基数。此方法返回可选的🍬🚂。可选参数可以包含基本类型的值，也可以包含虚无的⚡。当字符串不包含数字时，返回⚡。要使用该值，必须使用un解开可选值，如果值是⚡，则会引发运行时错误。因此，优良作法是在展开可选组件之前检查是否没有内容。实际上，是如此普遍，以至于Emojicode有一个简写形式。通常，🍊是一个“如果”。🍊🍦 variable expression表示：评估表达式。如果可选内容不包含任何内容，则条件的计算结果为👎（假）。否则，将variable使用可选的未包装值创建一个冻结的named ，条件的计算结果为👍（true）。因此，在正常使用情况下，将🍇 ... 🍉输入条件之后的块。

😀🔡🅰️num 10

🅰️是主代码使用adds来计算分区数的方法。这会num在条件语句中声明的冻结对象上调用🅰️，并通过🔡方法使用以10为底的结果将其转换为字符串。然后，😀打印结果。

🍓🍇 ... 🍉

🍓的意思是“ else”，因此当用户未正确输入数字时，将输入此块。

😀🔤Learn what a number is, you moron!🔤

打印字符串文字。

现在，让我们看一下主程序。我将解释非高尔夫版本；高尔夫版本只是删除了空格，并将变量重命名为单个字母名称。

🐋🚂🍇 ... 🍉

扩展🚂类。这是编程语言中不常见的功能。会直接修改。，而不是创建以🚂作为超类的新类。

🐖🅰️➡🚂🍇 ... 🍉

创建一个名为🅰️的新方法，该方法返回一个🚂。它返回使用公式计算的分区数a(n) = (1/n) * Sum_{k=0..n-1} sigma(n-k)*a(k)

🍊⬅🐕1🍇
 🍎1
🍉

🐕与其他语言相似this或self来自其他语言，并且指代调用该方法的对象。此实现是递归的，因此这是终止条件：如果调用此方法的数字小于或等于1，则返回1。

🍮sum 0

创建一个新变量sum并将其设置为0。隐式假定类型为🚂。

🔂k⏩0🐕

over迭代实现🔂🐚⚪️协议的任何内容，而⏩是恰好实现🔂🐚🚂的范围文字。一个范围具有一个起始值，一个终止值和一个步进值，如果为start < stop，则假定为1 ，否则为-1。也可以通过使用⏭创建范围文字来指定步长值。开始值是包含的，而停止值是排他性的，所以这是相当于for k in range(n)或Sum_{k=0..n-1}在公式中。

🍦nmk➖🐕k

我们需要计算sigma（n-k）或n - k换言之的除数之和，并且该参数需要几次，因此将其存储n - k在变量中nmk以节省一些字节。

🍮sig nmk
🔂i⏩1 nmk

这会将sig变量设置为sigma的参数，并迭代从1到的所有数字nmk - 1。我可以将变量初始化为0并在1..nmk上进行迭代，但是这样做更短。

🍊😛🚮nmk i 0

s计算余数，即模数，然后😛检查是否相等，因此条件是👍如果i是的除数nmk。

🍮➕sig i

这是通过呼叫进行的分配，类似于+= -= >>=某些次等的无表情符号语言中的操作员系列。这行也可以写成🍮 sig ➕ sig i。因此，在内循环完成后，sig将包含n - k或的除数之和。sigma(n - k)

🍮➕sum✖sig🅰️k

通过调用进行另一项分配，因此这sigma(n - k) * A(k)与公式中的总和相同。

🍎➗sum🐕

最后，将总和除以n并返回商。这种解释可能花费了编写代码本身三倍的时间。

Pari / GP，8字节

numbpart

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八度，18字节

partcnt(input(''))

使用内置函数partcnt。

通过使用@使用匿名函数无法正确完成操作，将不胜感激。

视网膜，34字节

.+
$*
+%1`\B
;$'¶$`,
,

%O`1+
@`.+

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说明

.+
$*

将输入转换为一元。

+%1`\B
;$'¶$`,

这将计算一进制数字列表的所有2 ^n-1个分区。我们通过重复（+）匹配每行（）中的第一个（1）非单词边界（\B即两个1s 之间的位置%），并将其替换为;，其后的所有内容（$'），换行符（¶），它（$`）和,。例：

1;1,111

成为

      vv
1;1,1;11
1;1,1,11
^^^^^

其中v标记结果为$'和^标记结果$`。这是一个常见的习惯用法，可同时获得两个不同的替换结果（我们基本上同时插入;和和,，以及缺失的字符串“一半”以完成两个完整的替换）。

我们会将其;视为实际分区，并,视为占位符，以防止后续内容\B在那里匹配。那下...

,

...我们删除那些逗号。这样就给了我们所有的分区。例如，对于输入，4我们得到：

1;1;1;1
1;1;11
1;11;1
1;111
11;1;1
11;11
111;1
1111

不过，我们并不关心订单：

%O`1+

这样会1在每行中对s 的运行进行排序，以便获得无序分区。

@`.+

最后，我们计算的唯一（@）匹配项.+，即我们获得了多少个不同的行/分区。我在@很久以前就添加了此选项，然后完全忘记了它，直到最近才重新发现它。在这种情况下，与进行第一次重复数据删除相比，它节省了一个字节D`。

Python 2中，54 53个字节

f=lambda n,k=1:1+sum(f(n-j,j)for j in range(k,n/2+1))

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怎么运行的

n的每个分区都可以表示为列表x = [x ₁，x，x _m ]，这样x ₁ + x + x _m = n。如果我们要求这种表示成为独特的X ₁ ≤⋯≤X _米。

我们定义一个辅助函数F（N，k）的该计数与下界分区ķ，即，列出了X为使得X ₁ +⋯+ X _米 = N和ķ≤X ₁ ≤⋯≤X _米。对于输入n，质询因此要求输出f（n，1）。

对于正整数n和k，使得k≤n，至少有一个下限为k的分区：单例列表[n]。如果n = k（尤其是n = 1），则这是唯一合格的分区。另一方面，如果k> n，则根本没有解。

如果k <n，我们可以通过从左到右构建剩余分区来递归计算剩余分区，如下所示。对于每个Ĵ使得ķ≤Ĵ≤n / 2个，我们可以建立分区[X ₁，⋯，X _米 ] = [J，Y ₁，⋯，Y _m-1个 ]。我们有x ₁ +⋯+ x _m当且仅当y ₁ +⋯+ y _m-1 = n-j时， = n。此外，X ₁ ≤⋯≤X _米当且仅当Ĵ≤ÿ ₁ ≤⋯≤ÿ _m-1个。

因此，以j开头的n的分区x可以计算为f（n-j，j），它计算有效分区y。通过要求 j≤n / 2，我们确保j≤n-j，因此至少有一个y。我们可以这样计算所有的分区Ñ通过求和1（为[N] ）和（ - ，j将Ñ）的F为的所有有效值Ĵ。

该代码是数学函数f的直接实现。另外，它使k默认为1，因此f(n)计算输入n的f（n，1）值。

J，37 35字节

0{]1&((#.]*>:@#.~/.~&.q:@#\%#),])1:

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说明

0{]1&((#.]*>:@#.~/.~&.q:@#\%#),])1:  Input: n
                                 1:  Constant 1
  ]                                  Get n
   1&(                          )    Repeat n times on x = [1]
                          \            For each prefix
                         #               Length
                      q:@                Prime factors
                 /.~&                    Group equal factors
              #.~                        Compute p+p^2+...+p^k for each group
           >:@                           Increment
                    &.q:                 Product
                           %           Divide
                            #          Length
         ]                             Get x
          *                            Times
   1   #.                              Sum
                              ,        Joim
                               ]       Get x
                                       Set this as next value of x
0{                                   Select value at index 0

JavaScript中，125个 121字节

n=>(z=(a,b)=>[...Array(a)].map(b))(++n**n,(_,a)=>z[F=z(n,_=>a%(a/=n,n)|0).sort().join`+`]=b+=eval(F)==n-1&!z[F],b=0)|b||1

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警告：时间和空间的复杂性是指数级的。大量工作非常缓慢。

Python 2，89个字节

Xcoder先生-9个字节notjagan -1个字节

lambda n:len(p(n))
p=lambda n,I=1:{(n,)}|{y+(x,)for x in range(I,n/2+1)for y in p(n-x,x)}

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果冻，13个字节

JÆsæ.:L;
1Ç¡Ḣ

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在TIO上花费5秒解决n = 1000。

Java 8（229字节）

import java.util.function.*;class A{static int j=0;static BiConsumer<Integer,Integer>f=(n,m)->{if(n==0)j++;else for(int i=Math.min(m,n);i>=1;i--)A.f.accept(n-i,i);};static Function<Integer,Integer>g=n->{f.accept(n,n);return j;};}

取消高尔夫：

import java.util.function.*;

class A {
    static int j = 0;
    static BiConsumer<Integer, Integer> f = (n, m) -> {
        if (n == 0)
            j++;
        else
            for (int i = Math.min(m, n); i >= 1; i--)
                A.f.accept(n - i, i);
    };
    static Function<Integer, Integer> g = n -> {
        f.accept(n, n);
        return j;
    };
}

果冻，3个字节

该Œṗ原子最近已添加，它的意思是“整数分区”。

ŒṗL

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ŒṗL-完整程序。

Œṗ-整数分区。
  L-长度。
      -隐式输出。

Pyt，2 个字节

←ᵱ

说明：

←          Get input
 ᵱ         Number of partitions

JavaScript ES7，69字节

n=>(f=(i,s)=>i?[for(c of Array(1+n))f(i-1,s,s-=i)]:c+=!s)(n,n,c=0)&&c

JavaScript ES6，71字节

n=>(f=(i,s)=>i?[...Array(1+n)].map(_=>f(i-1,s,s-=i)):c+=!s)(n,n,c=0)&&c

时间复杂度O（n ^ n），所以要小心（我的计算机上出现了明显的延迟F(6)）