您的任务是编写一个数学函数s，该函数A在2D平面中采用一组非空的有限点，并输出s(A)满足以下属性的非圆度分数：

1. 正定性：如果有一个包含所有点的圆或直线A，则s(A) = 0。除此以外s(A) > 0

2. 排斥性：它对非负实数是排斥的，这意味着对于每个非负实数，平面r的有限子集A使得s(A) = r。

3. 平移不变性： s如果s(A) = s(A + v)对于每个向量v和所有，则平移不变A。

4. 标度不变性： s是尺度不变，如果s(A) = s(A * t)每一个t≠0和所有A。

5. 连续性。 s被说成是连续的，如果函数f(p) := s(A ∪ {p})（映射的点p到的实数）是连续使用的实数的标准绝对值，并且在该平面的各点的标准欧几里得范数。

直观地讲，这种非圆度得分可以认为与线性回归中的相关系数相似。

细节

理论上，您的函数必须在实际中起作用，但是出于此挑战的目的，您可以使用浮点数代替。请提供您提交的内容的解释，并说明这五个属性为何成立。您可以将两个坐标列表或一个元组或类似格式的列表作为输入。您可以假设输入中没有点重复，即所有点都是唯一的。

带有numpy的Python 2，116个字节

from numpy import*
def f(x,y):a=linalg.lstsq(hstack((x,y,ones_like(x))),(x*x+y*y)/2);return a[1]/sum((x-a[0][0])**4)

将x和y作为2d列向量，并返回包含答案的数组。请注意，这将为一个完美的直线或具有3个或更少点的空数组。我认为，如果合适，lstsq不会遗留任何残差。

说明

本质上，这将找到最合适的圆并获得平方残差。

我们要最小化(x - x_center)^2 + (y - y_center)^2 - R^2。它看起来肮脏和非线性的，但我们可以重写为x_center(-2x) + y_center(-2y) + stuff = x^2 + y^2，其中stuff仍是肮脏和来讲非线性x_center，y_center和R，但我们不需要去关心它。这样我们就可以解决了[-2x -2y 1][x_center, y_center, stuff]^T = [x^2 + y^2]。

然后，如果我们确实愿意，可以撤消R，但这对我们没有太大帮助。值得庆幸的是，lstsq函数可以为我们提供残差，它可以满足大多数条件。减去中心并按比例缩放(R^2)^2 = R^4 ~ x^4可得出平移不变和比例不变。

1. 这是正定的，因为残差平方是非负的，并且我们用平方除。对于圆和直线，它趋向于0，因为我们正在拟合一个圆。
2. 我相当确定这不是排斥性的，但我不能很好地把握住。如果有上限，我们可以将[0，bound]映射到非负实数（例如，使用1 /（bound-answer）-1 / bound）更多字节。
3. 我们减去中心，所以它在翻译上是不变的。
4. 我们除以x ** 4，这消除了比例依赖性。
5. 它由连续的功能组成，因此是连续的。

Python，124个字节

lambda A:sum(r.imag**2/2**abs(r)for a in A for b in A for c in A for d in A if a!=d!=b!=c for r in[(a-c)*(b-d)/(a-d)/(b-c)])

注意到阿为复数（序列x + 1j*y），并总结IM（[R ）² /2 ^{| r |} 对于所有复杂的交比[R的四点甲。

物产

1. 正定性。所有项都是非负的，并且当所有交叉比率均为实时，它们全都为零，这在点是共线或同线时发生。

2. 排斥性。由于总和可以通过增加许多点而任意增大，因此连续性会产生排斥。

3. 翻译不变性。交叉比率是平移不变的。

4. 尺度不变性。交叉比率是比例不变的。（实际上，在所有Möbius变换下它都是不变的。）

5. 连续性。横比是连续映射到扩展复平面，和- [R ↦IM（[R ）² /2 ^{| r |} （∞↦0）是从扩展复平面到实数的连续映射。

（注意：理论上漂亮具有相同属性的地图是- [R ↦（IM（[R）/（ç + | - [R | ²））²，它的轮廓线WRT交比的所有四个点是圆形如果实际需要。一种非圆形度的度量，您可能想要那个。）