多数函数是一个布尔函数，它接受三个布尔输入并返回最常用的。例如，如果maj(x,y,z)是多数功能并T表示true和Ffalse，则：

maj(T,T,T) = T
maj(T,T,F) = T
maj(T,F,F) = F
maj(F,F,F) = F

这个问题涉及将布尔函数编写为多数函数的组合。多数函数的5元组成的示例是(x1,x2,x3,x4,x5) => maj(x1,x2,maj(x3,x4,x5))。此函数在这些样本输入向量上返回以下输出：

(T,T,F,F,F) => maj(T,T,maj(F,F,F)) = maj(T,T,F) = T
(T,F,T,T,F) => maj(T,F,maj(T,T,F)) = maj(T,F,T) = T
(T,F,T,F,F) => maj(T,F,maj(T,F,F)) = maj(T,F,F) = F
(F,F,F,T,T) => maj(F,F,maj(F,T,T)) = maj(F,F,T) = F

任务

编写一个程序，该程序输入一个正整数n和一个长度为n的布尔向量列表，并输出一个多数门树，如果可能，则在所有给定向量上返回true。该函数可能会在约束列表之外的向量上返回true或false。

• 向量列表可以按您喜欢的任何格式输入。如果愿意，可以输入向量中真实位置的列表，而不输入向量。因此，例如[TTF,TFT,FTT]or [[T,T,F],[T,F,T],[F,T,T]]或[[1,2],[1,3],[2,3]]（真实职位列表）都很好。

• 输出可以是任何有效的树格式。例如，maj(maj(x1,x2,x3),x4,x5)作品。您可能想要使用单个数字作为变量的替代品，如中所述[[1,2,3],4,5]。例如，反向抛光123m45m也可以。

• 如果没有起作用的函数，则您的程序应生成错误或输出错误值。

• 如果有多个起作用的函数，则您的程序可以返回其中的任何一个。功能不需要简化。例如，maj(x1,x1,x2)或x1等效。

计分

这就是代码高尔夫：以字节为单位的最短解决方案获胜。

测试用例：

请注意，在每种情况下都有许多可能的输出，因此您应该编写一个检查程序脚本，将输出转换为函数，并检查函数是否在每个指定的输入向量上返回true。

Input: 3, [TFF]
Output: 1 or [1,1,2] or [1,[1,2,2],[1,1,3]] or other equivalent

Input: 3, [TFF,FTF]
Output: Falsey or error (it's not possible)

Input: 3, [TTF,TFT]
Output: [1,2,3] or 1 or other equivalent

Input: 3, [TTF,TFT,FTT]
Output: [1,2,3] or [1,3,2] or other equivalent

Input: 4, [TTFF,TFTF,FFTT]
Output: Falsey or error

Input: 4, [TTTF,TTFT,TFTT,FTTT]
Output: [1, 2, 3] or [2,3,4], or many other options

Input: 5, [TTTFF,FTTFT,TFFFT]
Output: [1,[1,[1,2,5],[2,4,5]],3] or many other options 

Input: 6, [TTTFFF,FTFTTF,TFFTFT]
Output: [1, 2, 4] or [1, [1, 2, 4], [2, 3, 4]] or others

Input: 5, [TTTFF,TTFTF,TTFFT,TFTTF,TFTFT,TFFTT,FTTTF,FTTFT,FTFTT,FFTTT]
Output: [[1, [1, 3, 5], 4], [1, 2, [2, 4, 5]], [2, 3, [3, 4, 5]]] or others

Input: 7, [TTTTFFF,TTTFTFF,TTTFFTF,TTTFFFT,TTFTTFF,TTFTFTF,TTFTFFT,TTFFTTF,TTFFTFT,TTFFFTT,TFTTTFF,TFTTFTF,TFTTFFT,TFTFTTF,TFTFTFT,TFTFFTT,TFFTTTF,TFFTTFT,TFFTFTT,TFFFTTT,FTTTTFF,FTTTFTF,FTTTFFT,FTTFTTF,FTTFTFT,FTTFFTT,FTFTTTF,FTFTTFT,FTFTFTT,FTFFTTT,FFTTTTF,FFTTTFT,FFTTFTT,FFTFTTT,FFFTTTT]
Output: [[[1, [1, [1, 4, 7], 6], 5], [1, [1, 3, [3, 6, 7]], [3, 5, [5, 6, 7]]], [3, 4, [4, [4, 5, 7], 6]]], [[1, [1, [1, 4, 7], 6], 5], [1, 2, [2, [2, 5, 7], 6]], [2, [2, 4, [4, 6, 7]], [4, 5, [5, 6, 7]]]], [[2, [2, [2, 4, 7], 6], 5], [2, 3, [3, [3, 5, 7], 6]], [3, [3, 4, [4, 6, 7]], [4, 5, [5, 6, 7]]]]]

JavaScript（ES6），260个字节

将输入作为布尔数组的数组。返回一棵索引为1的多数门的树，如果不存在任何解决方案，则抛出递归错误^（1）。

主函数f（）递归地尝试通过调用求解器F（）并在每次迭代中增加最大嵌套级别m来寻找解决方案。

_{（1）长时间后，并假设无限记忆}

f=(a,m)=>(F=(a,d,I=a[i=0].map(_=>++i),g=(a,b)=>b[1]?b.reduce((s,i)=>s+g(a,i),0)>1:a[b-1])=>I.find(i=>a.every(a=>g(a,i)))||d&&(I.reduce((a,x)=>[...a,...a.map(y=>[...y,x])],[[]]).some(b=>r=b.length==3&&F(a.map(a=>[...a,g(a,b)]),d-1,[...I,b]))&&r))(a,m)||f(a,-~m)

演示版

f=(a,m)=>(F=(a,d,I=a[i=0].map(_=>++i),g=(a,b)=>b[1]?b.reduce((s,i)=>s+g(a,i),0)>1:a[b-1])=>I.find(i=>a.every(a=>g(a,i)))||d&&(I.reduce((a,x)=>[...a,...a.map(y=>[...y,x])],[[]]).some(b=>r=b.length==3&&F(a.map(a=>[...a,g(a,b)]),d-1,[...I,b]))&&r))(a,m)||f(a,-~m)

test = a => console.log(JSON.stringify(f(a.split(',').map(s => [...s].map(c => c == 'T')))))

test('TFF')
test('TTF,TFT')
test('TTF,TFT,FTT')
test('TTTF,TTFT,TFTT,FTTT')
test('TTTFF,FTTFT,TFFFT')
test('TTTFFF,FTFTTF,TFFTFT')
test('TTTFF,TTFTF,TTFFT,TFTTF,TFTFT,TFFTT,FTTTF,FTTFT,FTFTT,FFTTT')

例

以下是在演示的最后一个测试案例中找到的解决方案的验证表。

12345 | [5,[1,2,4],[3,4,[1,2,3]]]
------+-------------------------------------------------------------
TTTFF | [F,[T,T,F],[T,F,[T,T,T]]] --> [F,T,[T,F,T]] -> [F,T,T] --> T
TTFTF | [F,[T,T,T],[F,T,[T,T,F]]] --> [F,T,[F,T,T]] -> [F,T,T] --> T
TTFFT | [T,[T,T,F],[F,F,[T,T,F]]] --> [T,T,[F,F,T]] -> [T,T,F] --> T
TFTTF | [F,[T,F,T],[T,T,[T,F,T]]] --> [F,T,[T,T,T]] -> [F,T,T] --> T
TFTFT | [T,[T,F,F],[T,F,[T,F,T]]] --> [T,F,[T,F,T]] -> [T,F,T] --> T
TFFTT | [T,[T,F,T],[F,T,[T,F,F]]] --> [T,T,[F,T,F]] -> [T,T,F] --> T
FTTTF | [F,[F,T,T],[T,T,[F,T,T]]] --> [F,T,[T,T,T]] -> [F,T,T] --> T
FTTFT | [T,[F,T,F],[T,F,[F,T,T]]] --> [T,F,[T,F,T]] -> [T,F,T] --> T
FTFTT | [T,[F,T,T],[F,T,[F,T,F]]] --> [T,T,[F,T,F]] -> [T,T,F] --> T
FFTTT | [T,[F,F,T],[T,T,[F,F,T]]] --> [T,F,[T,T,F]] -> [T,F,T] --> T

Mathematica，121个字节

一个匿名函数，其第二个参数作为布尔向量中真实位置列表的列表。

f[n_][s_]:=If[n<3,(Intersection@@s)[[1]],{#/. 2->1,#2/.{2->1,3->2},#3}&@@(1+f[n-1]/@(s-1/.{{0->1},{1->2,0->1},{0->2}}))]

格式稍微好一点：

f[n_][s_] := If[n < 3, (Intersection @@s)[[1]],
   {# /. 2 -> 1, #2 /. {2 -> 1, 3 -> 2}, #3} & @@ 
    (1 + f[n - 1] /@ (s - 1 /. {{0 -> 1}, {1 -> 2, 0 -> 1}, {0 -> 2}}))]

$\def\maj{\mathrm{maj}}\def\T{\mathrm{True}}\def\F{\mathrm{False}}$ 如果变量少于三个，则与约束向量相交，以查看所有约束中是否存在公共的“ True”。如果存在一个常量，则常量函数（x_1，x_2）-> x_i起作用，否则它将是不可能的（并且通过尝试获取空列表的第一个元素将引发错误）。

否则，替代$f_1=f(x_1,x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{n-1})$，$f_2=f(x_1,x_2,x_2,x_3,\ldots,x_{n-1})$，并且$f_3=f(x_1,x_2,x_1,x_3,\ldots,x_{n-1}))$递归求解每个，然后设置$f=\maj(f_1(x_1,x_3,x_4,\ldots,x_n), f_2(x_1,x_2,x_4,\ldots,x_n),f_2(x_2,x_3,x_4,\ldots,x_n))$。

说明：

这是一种递归算法，将找到$n$变量问题的解的问题减少为找到$n-1$变量问题的三个解的问题。进行这项工作的主要观察结果是，对于$f$，我们正在寻找的功能之一是： $f(x_1,\ldots,x_n)=\maj(f(x_1,x_1,x_3,x_4,\ldots,x_n),f(x_1,x_2,x_2,\ldots),f(x_3,x_2,x_3,\ldots))$

在第一个位置，我们将$x_2$替换为$x_1$，在第二个位置$x_3$替换为$x_2$，在第三位置$x_1$替换为$x_3$。

一旦知道了这种身份，该算法就很清楚：当有两个或更少的变量时，这个问题就微不足道了。否则，递归地解决代表的三个问题$f(x_1,x_1,x_3,x_4,\ldots,x_n)$，$f(x_1,x_2,x_2,x_4,\ldots,x_n)$，和$f(x_3,x_2,x_3,x_4,\ldots,x_n))$

为什么会这样呢？多数函数满足两个属性：

1. $!x$$x$$\maj(!x,!y,!z)=!\maj(x,y,z)$

2. $\maj(x,y,\F)\leq \maj(x,y,\T)$$\F\leq \T$$(x_1,\ldots,x_n)\leq (y_1,\ldots, y_n)$ if $x_i\leq y_i$ for all $i$, then I say a function $f$ is monotonic if $(x_1,\ldots x_n)\leq(y_1,\ldots, y_n)$ implies $f(x_1,\ldots x_n)\leq f(y_1,\ldots, y_n)$. The composition of monotonic functions is monotonic so every function we can build out of the majority function is monotonic.

It turns out that complementary monotonic functions are exactly the class of functions that can be built out of majority gates.

Now, we show that for $f$ a complementary monotonic function, our identity holds: $f(x_1,\ldots,x_n)=\maj(f(x_1,x_1,x_3,x_4,\ldots,x_n),f(x_1,x_2,x_2,x_4,\ldots,x_n),f(x_3,x_2,x_3,x_4,\ldots,x_n))$

Let's set $f_1(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)=f(x_1,x_1,x_3,x_4,\ldots,x_n)$, $f_2(x_1,\ldots,x_n)=f(x_1,x_2,x_2,x_4,\ldots,x_n)$ and $f_3(x_1,\ldots,x_n)=f(x_3,x_2,x_3,x_4,\ldots,x_n)$. To show that $f=\maj(f_1,f_2,f_3)$, we need to show that for any input, at least two of $f_1$, $f_2$, and $f_3$ are equal to $f$. We divide up into cases based on the values of $x_1$, $x_2$ and $x_3$. If $x_1=x_2=x_3$ then $f_1=f_2=f_3=f$.

Suppose not all of $x_1$, $x_2$, and $x_3$ are the same. By permuting the variables of $f$, we can assume that $x_1=x_2$ and $x_3$ is different and because $f$ is complementary, it suffices to deal with the case $x_1=x_2=\F$ and $x_3=\T$. In this case, $(x_1,x_1,x_3)=(\F,\F,\T)=(x_1,x_2,x_3)$, $(x_1,x_2,x_2)=(\F,\F,\F)\leq (x_1,x_2,x_3)$ and $(x_3,x_2,x_3)=(\T, \F, \T) \geq (x_1,x_2,x_3)$. By monotonicity we deduce that $f_2\leq f_1=f\leq f_3$. If $f=\F$ then $f_2\leq \F$ implies $f_2=\F=f$ and if $f=\T$ then $f_3\geq \T$ implies $f_3=\T$. Thus, at least two of $f_1$, $f_2$, and $f_3$ are equal to $f$ in all cases so $f=\maj(f_1,f_2,f_3)$.