介绍

为整数线性规划编写一个求解器。

挑战

您的任务是编写整数线性规划（ILP）的求解器。在ILP中，给出了一组未知数（所有都是整数）的线性不等式，目的是找到线性函数的最小值或最大值。

例如，对于不等式（示例取自“ 混合整数线性规划”）

 4x+2y-15≤0
  x+2y- 8≤0
  x+ y- 5≤0
- x      ≤0
   - y   ≤0

和目标函数3x+2y，目标函数的最大值应为12（x=2,y=3），而最小值应为0（x=y=0）。

输入以2d数组形式给出（或遵循标准规范的任何等效形式），每一行对应一个不等式，最后一行除外。数组中的数字是系数，该≤0部分始终被省略。如果n每一行中都有元素，则意味着存在n-1未知数。

数组的最后一行对应于线性函数。列出系数。

例如，上面问题的输入数组是

[[4,2,-15],[1,2,-8],[1,1,-5],[-1,0,0],[0,-1,0],[3,2,0]].

输出应该是最小和最大，以任何合理的形式给出。

对于以下问题（上述问题排除了两个限制）：

[[4,2,-15],[1,2,-8],[1,1,-5],[3,2,0]].

最大值仍然是12，但最小值不存在，目标函数可以具有任意大的负值（就绝对值而言）。在这种情况下，程序应12按照由应答者确定的虚假值输出。另一种情况是根本没有解决方案，例如，

[[4,2,-15],[-1,-2,7],[-1,0,3],[0,1,0],[3,2,0]].

在这种情况下，也应输出虚假值。最好能分辨出目标函数的“最优值”是无穷大的情况以及根本没有解的情况，但这不是必须的。

输入仅包含不等式和目标函数的整数系数。所有未知数也是整数。不等式的系数矩阵被保证具有满分。

测试用例

归功于@KirillL。在原始测试套件中发现错误并加深我对ILP问题的理解。

Input
Output

[[4,2,-15],[1,2,-8],[1,1,-5],[-1,0,0],[0,-1,0],[3,2,1]]
[1,13]

[[4,2,-15],[1,2,-8],[1,1,-5],[3,2,0]]
[-inf, 12]

[[4,2,-15],[-1,-2,7],[-1,0,3],[0,1,0],[3,2,0]]
[NaN, NaN]

[[-1,-1,-1,-1,-1,8],[1,1,1,1,0,0],[5,5,5,5,6,7]]
[55, inf]

[[-1,-1,-1,-1,-1,8],[1,1,1,1,0,0],[0,0,0,0,0,4]]
[4, 4]

[[4,2,-15],[-1,-2,7],[-1,0,3],[0,1,0],[0,0,4]]
[NaN, NaN]

眼镜

• 无需担心异常处理。

• 这是code-golf，赢得的最低字节数。

• 最大未知数：9。最大不等式数量：12。

• 您可以采用任何标准格式输入和提供输出，并且可以自由选择格式。

• 与往常一样，默认漏洞适用于此。

Python 3，534字节

import itertools as t
import operator as o
I=float("inf")
e=lambda p,A:sum([i[0]*i[1]for i in zip(p,A[:-1])])+A[-1]
def w(x,j):
	d=len(x[0])-1;C=[0]*d;v,w=I,I
	while 1:
		L={(*n,):(sum([0 if e(n,A)<=0 else e(n,A)for A in x[:-1]]),j*e(n,x[-1]))for n in [[sum(a) for a in zip(C,c)]for c in t.product(*[[-1,0,1]]*d)]};C,P=min(L.items(),key=o.itemgetter(1))[0],C;v,w,p,q=L[C][0],L[C][1],v,w
		if(all([e(C,A)<=e(P,A)for A in x[:-1]]))*(j*(e(C,x[-1])-e(P,x[-1]))<0)+(p==v>0):return I
		if(p==v)*(q<=w):return j*q
f=lambda x:(w(x,1),w(x,-1))

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总览

从origo开始，这是一个迭代算法。它收集相邻位置并分配一个潜在函数：x:(a,b)其中x，位置a是，位置与每个线性不等式的半空间的距离之和，是该位置上b物镜的值。

x:(a,b) < y:(c,d)如果a<c或a=c and b<d

在以下情况下，迭代停止：

• 潜力的第一个坐标尚未降低且为正：系统不可行
• 就像目标一样，距每个半空间的距离已减小：系统是无界的。
• 以前没有一个，并且潜力没有降低：这是最优值。

Matlab，226个字节

免责声明：不是“原始”实现，只是为了好玩。

利用该intlinprog功能的简单解决方案：

function r=f(a);b=-1*a(1:end-1,end);p=a(end,1:end-1);c=a(1:end-1,1:end-1);[~,f,h]=intlinprog(p,1:size(a,2)-1,c,b);[~,g,i]=intlinprog(-p,1:size(a,2)-1,c,b);s=[inf,nan,f];t=[inf,nan,g];r=a(end,end)+[s(4-abs(h)) -t(4-abs(i))];end

它返回最佳值；如果问题是无限的，则返回inf（-inf）；如果问题不可行，则返回nan。

a = [4 2 -15; 1 2 -8; 1 1 -5; -1 0 0; 0 -1 0; 3 2 1]
b = [4 2 -15; 1 2 -8; 1 1 -5; 3 2 0]
c = [4 2 -15; -1 -2 7; -1 0 3; 0 1 0; 3 2 0]
d = [-1 -1 -1 -1 -1 8;  1 1 1 1 0 0; 0 0 0 0 0 4]
e = [4 2 -15; -1 -2 7; -1 0 3; 0 1 0; 0 0 4]

>> f(a)
ans =

     1    13

>> f(b)
ans =

   Inf    12

>> f(c)
ans =

   NaN   NaN

>> f(d)
ans =

     4     4

>> f(e)
ans =

   NaN   NaN