该狄利克雷卷积是一种特殊的卷积出现在数论中一个非常有用的工具。它对一组算术函数进行运算。

挑战

给定两个算术函数（即函数），计算Dirichlet卷积如下定义。 $f,g$ $f,g: \mathbb N \to \mathbb R$ $(f * g): \mathbb N \to \mathbb R$

细节

我们使用约定。 $0 \notin \mathbb N = \{1,2,3,\ldots \}$
两个算术函数的Dirichlet卷积再次是算术函数，它的定义为（两个和都是等价的。表达式表示除以，因此求和在的自然除数上。类似地，我们可以用 $f*g$ $f,g$ $(f * g) (n) = \sum_{d | n} f (\frac{n}{d}) \cdot g (d) = \sum_{i \cdot j = n} f (i) \cdot g (j) .$ $(f * g)(n) = \sum_\limits{d|n} f\left(\frac{n}{d}\right)\cdot g(d) = \sum_{i\cdot j = n} f(i)\cdot g(j).$ $d|n$ $d \in \mathbb N$ $n$ $n$ $i = \frac{n}{d} \in \mathbb N, j =d \in \mathbb N$ 然后得到第二个等效公式。如果您不习惯这种表示法，则下面有一个逐步的示例。）只是为了详细说明（这与本挑战没有直接关系）：定义来自计算Dirichlet系列的乘积： $(\sum_{n \in N} \frac{f (n)}{n^{s}}) \cdot (\sum_{n \in N} \frac{g (n)}{n^{s}}) = \sum_{n \in N} \frac{(f * g) (n)}{n^{s}}$ $\left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{f(n)}{n^s}\right)\cdot \left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{g(n)}{n^s}\right) = \sum_{n\in\mathbb N}\frac{(f * g)(n)}{n^s}$
输入由两个黑盒功能给出。另外，您也可以使用无限列表，生成器，流或类似的东西，它们可以产生无限数量的值。
有两种输出方法：要么返回函数，要么可以选择接受一个附加输入然后直接返回。 $f*g$ $n \in \mathbb N$ $(f*g)(n)$
为简单起见，您可以假设每个元素都可以用正32位int表示。 $\mathbb N$
为简单起见，您还可以假定每个条目都可以由例如单个实数浮点数表示。 $\mathbb R$

例子

让我们首先定义一些功能。请注意，每个定义下方的数字列表代表该函数的前几个值。

乘法身份（A000007） $ϵ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{cases}$ $\epsilon(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & n>1 \end{cases}$ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
常数单位函数（A000012） $1 (n) = 1 \forall n$ $\mathbb 1(n) = 1 \: \forall n$ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
身份函数（A000027） $i d (n) = n \forall n$ $id(n) = n \: \forall n$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...
莫比乌斯函数（A008683） $μ (n) = {\begin{cases} (- 1)^{k} & if n is squarefree and k is the number of Primefactors of n \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $\mu(n) = \begin{cases} (-1)^k & \text{ if } n \text{ is squarefree and } k \text{ is the number of Primefactors of } n \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$ 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, ...
欧拉totient函数（A000010） $φ (n) = n \prod_{p | n} (1 - \frac{1}{p})$ $\varphi(n) = n\prod_{p|n} \left( 1 - \frac{1}{p}\right)$ 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, ...
Liouville函数（A008836）其中是的素数个数乘以复数 $λ (n) = (- 1)^{k}$ $\lambda (n) = (-1)^k$ $k$ $n$ 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, ...
除数和函数（A000203） $σ (n) = \sum_{d | n} d$ $\sigma(n) = \sum_{d | n} d$ 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, ...
除数计数函数（A000005） $τ (n) = \sum_{d | n} 1$ $\tau(n) = \sum_{d | n} 1$ 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, ...
平方数的特征函数（A010052） $s q (n) = {\begin{cases} 1 & if n is a square number \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $sq(n) = \begin{cases} 1 & \text{ if } n \text{ is a square number} \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$ 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

然后我们有以下示例：

$\epsilon = \mathbb 1 * \mu$
$f = \epsilon * f \: \forall f$
$\epsilon = \lambda * \vert \mu \vert$
$\sigma = \varphi * \tau$
$id = \sigma * \mu$ 和 $\sigma = id * \mathbb 1$
$sq = \lambda * \mathbb 1$ 和 $\lambda = \mu * sq$
$\tau = \mathbb 1 * \mathbb 1$ 和 $\mathbb 1 = \tau * \mu$
$id = \varphi * \mathbb 1$ 和 $\varphi = id * \mu$

最后一个是莫比乌斯反演的结果：对于任何，方程等效于。 $f,g$ $g = f * 1$ $f = g * \mu$

分步示例

这是为不熟悉定义中使用的符号的人员逐步计算的示例。考虑函数和。现在我们将在处评估它们的卷积。下表列出了他们的前几个术语。 $f = \mu$ $g = \sigma$ $\mu * \sigma$ $n=12$

\begin{array}{cccccccccccccc} f & f (1) & f (2) & f (3) & f (4) & f (5) & f (6) & f (7) & f (8) & f (9) & f (10) & f (11) & f (12) \\ μ & 1 & - 1 & - 1 & 0 & - 1 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ σ & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \end{array}

$\begin{array}{c|ccccccccccccc} f & f(1) & f(2) & f(3) & f(4) & f(5) & f(6) & f(7) & f(8) & f(9) & f(10) & f(11) & f(12) \\ \hline \mu & 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ \sigma & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \\ \end{array}$

该总和遍历除所有自然数，因此假设所有自然除数。这些是。在每个求和项中，我们在处计算并将其与在处计算的相乘。现在我们可以得出结论 $d \in \mathbb N$ $n=12$ $d$ $n=12 = 2^2\cdot 3$ $d =1,2,3,4,6,12$ $g= \sigma$ $d$ $f = \mu$ $\frac{n}{d}$

\begin{aligned} (μ * σ) (12) & = μ (12) σ (1) & + μ (6) σ (2) & + μ (4) σ (3) & + μ (3) σ (4) & + μ (2) σ (6) & + μ (1) σ (12) \\ = 0 \cdot 1 & + 1 \cdot 3 & + 0 \cdot 4 & + (- 1) \cdot 7 & + (- 1) \cdot 12 & + 1 \cdot 28 \\ = 0 & + 3 & 10 & - 7 & - 12 & + 28 \\ = 12 \\ = i d (12) \end{aligned}

$\begin{array}{rlccccc} (\mu * \sigma)(12) &= \mu(12)\sigma(1) &+\mu(6)\sigma(2) &+\mu(4)\sigma(3) &+\mu(3)\sigma(4) &+\mu(2)\sigma(6) &+\mu(1)\sigma(12) \\ &= 0\cdot 1 &+ 1\cdot 3 &+ 0 \cdot 4 &+ (-1)\cdot 7 &+ (-1) \cdot 12 &+ 1 \cdot 28 \\ &= 0 & + 3 & 1 0 & -7 & - 12 & + 28 \\ &= 12 \\ & = id(12) \end{array}$

— 瑕疵
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4

稀，108 100 95 78 75个字节

def d(f g:_->int)(n):=(list.iota n).foldr(λd s,ite(n%d=0)(s+f d*g(n/d))s)0

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具有所有功能的更多测试用例。

— 漏尼姑
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Lambda真的比四个字节贵fun 吗？

— 马里奥·卡内罗

拉姆达是三个字节，我想

— 漏嫩

我认为这是UTF8中的两个（希腊文是非常低的unicode）

— Mario Carneiro

你是对的。我也golfed进口

— 漏嫩

我还用cond节省5个字节

— 漏嫩

4

Haskell，46个字节

(f!g)n=sum[f i*g(div n i)|i<-[1..n],mod n i<1]

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感谢-6个字节的骗子，这是一个巨大的挑战！多亏了H.PWiz -6！

— 梅果
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简单一点在这里更短

— H.PWiz

@ H.PWiz真是太聪明了-我什至没有想到这样做！

— Mego

3

Python 3，59字节

lambda f,g,n:sum(f(d)*g(n//d)for d in range(1,n+1)if 1>n%d)

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— 漏尼姑
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是//真正需要的，而不是/？

— Xcoder先生18年

/会产生漂浮物吗？

— Leaky Nun

因为根据定义d是的除数n，所以的小数部分n/d为零，因此浮点算术应该没有任何问题。与小数部分零花车足够接近整数的Python的目的，该函数的输出是实数，这样做n/d的，而不是n//d应该罚款。

— Mego

3

Wolfram语言（Mathematica），17个字节

当然Mathematica具有内置功能。也碰巧知道许多示例函数。我提供了一些工作示例。

DirichletConvolve

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— 凯莉·洛德
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2

加+，51字节

D,g,@~,$z€¦~¦*
D,f,@@@,@b[VdF#B]dbRzGb]$dbL$@*z€g¦+

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$n$ $(f * g)(n)$

怎么运行的

D,g,		; Define a helper function, $g
	@~,	; $g takes a single argument, an array, and splats that array to the stack
		; $g takes the argument e.g. [[τ(x) φ(x)] [3 4]]
		; STACK : 			[[τ(x) φ(x)] [3 4]]
	$z	; Swap and zip:			[[3 τ(x)] [4 φ(x)]]
	€¦~	; Reduce each by execution:	[[τ(3) φ(4)]]
	¦*	; Take the product and return:	τ(3)⋅φ(4) = 4

D,f,		; Define the main function, $f
	@@@,	; $f takes three arguments: φ(x), τ(x) and n (Let n = 12)
		; STACK:			[φ(x) τ(x) 12]
	@	; Reverse the stack:		[12 τ(x) φ(x)]
	b[V	; Pair and save:		[12]			Saved: [τ(x) φ(x)]
	dF#B]	; List of factors:		[[1 2 3 4 6 12]]
	dbR	; Copy and reverse:		[[1 2 3 4 6 12] [12 6 4 3 2 1]]
	z	; Zip together:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]]]
	Gb]	; Push Saved:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)]]]
	$dbL	; Number of dividors:		[[[τ(x) φ(x)]] [[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] 6]
	$@*	; Repeat:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)]]]
	z	; Zip:				[[[τ(x) φ(x)] [1 12]] [[τ(x) φ(x)] [2 6]] [[τ(x) φ(x)] [3 4]] [[τ(x) φ(x)] [4 3]] [[τ(x) φ(x)] [6 2]] [[τ(x) φ(x)] [12 1]]]
	€g	; Run $g over each subarray:	[[4 4 4 6 4 6]]
	¦+	; Take the sum and return:	28

— 开斋节
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2

R，58个字节

function(n,f,g){for(i in (1:n)[!n%%1:n])F=F+f(i)*g(n/i)
F}

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注意到n，f和g。幸运的是，该numbers软件包已经实现了很多功能。

如果有矢量化版本，可以通过用来包装每个Vectorize版本，然后可以使用以下45字节版本：

R，45个字节

function(n,f,g,x=1:n,i=x[!n%%x])f(i)%*%g(n/i)

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— 朱塞佩
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1

果冻，9字节

ÆDṚÇ€ḋÑ€Ʋ

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$f$ $g$ $n$

— 暴民埃里克
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1

迅速4， 74个70 54字节

{n in(1...n).map{n%$0<1 ?f(n/$0)*g($0):0}.reduce(0,+)}

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— Xcoder先生
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1

JavaScript（ES6），47个字节

将输入作为(f)(g)(n)。

f=>g=>h=(n,d=n)=>d&&!(n%d)*f(n/d)*g(d)+h(n,d-1)

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例子

liouville =
n => (-1) ** (D = (n, k = 2) => k > n ? 0 : (n % k ? D(n, k + 1) : 1 + D(n / k, k)))(n)

mobius =
n => (M = (n, k = 1) => n % ++k ? k > n || M(n, k) : n / k % k && -M(n / k, k))(n)

sq =
n => +!((n ** 0.5) % 1)

identity =
n => 1

// sq = liouville * identity
console.log([...Array(25)].map((_, n) => F(liouville)(identity)(n + 1)))

// liouville = mobius * sq
console.log([...Array(20)].map((_, n) => F(mobius)(sq)(n + 1)))

— Arnauld
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1

APL（Dyalog Classic），20字节

{(⍺⍺¨∘⌽+.×⍵⍵¨)∪⍵∨⍳⍵}

与 ⎕IO←1

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易于解决，难以测试-通常不是我的挑战类型。但是，我非常喜欢这个！

{ }定义一个二元运算符，其操作数⍺⍺和⍵⍵是被卷积的两个函数；⍵是数字参数

∪⍵∨⍳⍵是⍵升序的除数，即∪LCM的唯一（∨），⍵且所有自然数都等于（⍳）

⍵⍵¨ 将正确的操作数应用于每个

⍺⍺¨∘⌽ 反向应用左操作数

+.× 内积-乘以对应的元素并求和

ngn / apl中的相同项由于使用Unicode标识符而看起来更好，但由于进行了1索引编制，因此需要占用2个额外的字节。

— ngn
source

可以肯定的是，

— 在ngn

1

C（gcc），108个字节

#define F float
F c(F(*f)(int),F(*g)(int),int n){F s=0;for(int d=0;d++<n;)if(n%d<1)s+=f(n/d)*g(d);return s;}

简单易用的实现，从Leaky Nun的Python答案中毫不知情地偷了。

取消高尔夫：

float c(float (*f)(int), float (*g)(int), int n) {
    float s = 0;
    for(int d = 1; d <= n;++d) {
        if(n % d == 0) {
            s += f(n / d) * g(d);
        }
    }
    return s;
}

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— 1号
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F＃，72个字节

let x f g n=Seq.filter(fun d->n%d=0){1..n}|>Seq.sumBy(fun d->f(n/d)*g d)

具有两个函数f和g和一个自然数n。过滤掉d不会自然分为的值n。然后评估f(n/d) 和g(d)，倍数在一起，总结的结果。

— 西亚兰·麦卡锡
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Pari / GP，32字节

(f,g,n)->sumdiv(n,d,f(n/d)*g(d))

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有一个内置dirmul函数，但仅支持有限序列。

— Alephalpha
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