给出四个数字。对于该序列，前三个分别是，和：$a$$b$$c$

$$T_n=an^2+bn+c$$

您可以通过任何方式输入这四个数字。输出应该是在你的答案提到的两个不同的输出中的一个，一个装置，所述第四数目是序列中的项（上述方程具有用于至少一个溶液这是当一个整数，，和是替换给定值），另一个则相反。$n$$a$$b$$c$$T_n$

这是代码高尔夫，所以最短的答案以字节为单位。您的程序应适用于任何输入其中数字为负或正（或0），十进制或整数。为了避免出现问题但保持一定的复杂性，非整数总是以结尾。不允许使用标准漏洞。$a, b, c, T_n$$.5$

测试用例

a   |b   |c   |T_n |Y/N
------------------------
1   |1   |1   |1   |Y     #n=0
2   |3   |5   |2   |N
0.5 |1   |-2  |-0.5|Y     #n=1
0.5 |1   |-2  |15.5|Y     #n=5
0.5 |1   |-2  |3   |N     
-3.5|2   |-6  |-934|Y     #n=-16
0   |1   |4   |7   |Y     #n=3
0   |3   |-1  |7   |N
0   |0   |0   |1   |N
0   |0   |6   |6   |Y     #n=<anything>
4   |8   |5   |2   |N

果冻， 11  10 字节

_/Ær1Ẹ?%1Ạ

一个单子链接，它接受列表*，[[c, b, a], [T_n]]并给出0是否T_n有效的解决方案1。

*坦率地承认“您可以以任何方式输入这四个数字”。

在线尝试！或见一个测试套件。

怎么样？

_/Ær1Ẹ?%1Ạ - Link: list of lists of integers, [[c, b, a], [T_n]]
 /         - reduce by:
_          -   subtraction                    [c-T_n, b, a]
      ?    - if...
     Ẹ     - ...condition: any?
  Ær       - ...then: roots of polynomial     i.e. roots of a²x+bx+(c-T_n)=0
    1      - ...else: literal 1
       %1  - modulo 1 (vectorises)            i.e. for each: keep any fractional part
           -                                       note: (a+bi)%1 yields nan which is truthy
         Ạ - all?                             i.e. all had fractional parts?
           -                                       note: all([]) yields 1

---

如果我们可以产生不明显的结果，那么_/Ær1Ẹ?ḞƑƇ它也将适用于10（1当所有值都是解时，它会产生结果；否则，将列出不同解的列表，因此当没有解时将始终为空列表-这也符合标准的Truthy vs Falsey定义）

JavaScript（ES7），70个字节

返回一个布尔值。

(a,b,c,t)=>(t-=c,(a*=2)?(x=(b*b+2*a*t)**.5-b)%a&&(x+b+b)%a:b?t%b:t)==0

在线尝试！

怎么样？

为了清楚起见，我们定义$d = T_n-c$。（重复使用相同的变量$t$将此结果存储在JS代码中。）

情况$a\neq0$

等式确实是二次的：

$$T_n=an^2+bn+c\\ an^2+bn-d=0$$

$a'=2a$

$$\Delta=b^2+2a'd$$

其根源是：

$$n_0=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{a'}\\ n_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{a'}$$

如果则该方程式接受整数根$\sqrt{\Delta}$

$$\begin{align}&-b-\sqrt{\Delta}\equiv 0\pmod{a'}\\ \text{ or }&-b+\sqrt{\Delta}\equiv 0\pmod{a'}\end{align}$$

$a=0, b\neq0$

该方程是线性的：

$$T_n=bn+c\\ bn=d\\ n=\frac{d}{b}$$

$d\equiv0\pmod b$

$a=0, b=0$

$n$

$$T_n=c\\ d=0$$

05AB1E，35 个字节

Æ©²Āi²4P³n+tÐdi(‚³-IJ·Ä%P}뮳Āi³%]_

@Arnauld的JavaScript答案端口，请确保对其进行投票！

$[t,c], a, b$

在线尝试

说明：

Æ                         # Reduce the (implicit) input-list by subtraction (`t-c`)
 ©                        # Store this value in the register (without popping)
  ²Āi                     # If the second input `a` is not 0:
     ²4P                  #  Calculate `(t-c)*a*4`
        ³n+               #  Add the third input `b` squared to it: `(t-c)*a*4+b*b`
           t              #  Take the square-root of that
                          #  (NOTE: 05AB1E and JS behave differently for square-roots of
                          #   negative integers; JS produces NaN, whereas 05AB1E leaves the
                          #   integer unchanged, which is why we have the `di...}` here)
            Ð             #  Triplicate this square
             di           #  If the square is non-negative (>= 0):
               (‚         #   Pair it with its negative
                 ³-       #   Subtract the third input `b` from each
                   Ä      #   Take the absolute value of both
                    ²·Ä%  #   Modulo the absolute value of `a` doubled
                          #   (NOTE: 05AB1E and JS behave differently for negative modulos,
                          #    which is why we have the two `Ä` here)
                        P #   Then multiply both by taking the product
              }           #  And close the inner if-statement
    ë                     # Else (`a` is 0):
     ®                    #  Push the `t-c` from the register
      ³Āi                 #  If the third input `b` is not 0:
         ³%               #   Take modulo `b`
    ]                     # Close both if-else statements
     _                    # And check if the result is 0
                          # (which is output implicitly)

Wolfram语言（Mathematica），38个字节

Solve[n^2#+n#2+#3==#4,n,Integers]!={}&

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果冻，15个字节

_3¦UÆr=Ḟ$;3ị=ɗẸ

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内置帮助在这里，但是不处理a = b = 0，因此这是专门处理的。