给定自然数，返回第个古巴质数。 $n$ $n$

古巴Prime

古巴素数是形式的素数

p = \frac{x^{3} - y^{3}}{x - y}

$p = \frac{x^3-y^3}{x-y}$

其中且或 $y>0$ $x = 1+y$ $x = 2+y$

细节

您可以使用最适合您的索引（基于0或1）。
您可以返回给出的指数个主要或第一按升序排列的素数，或者你可以返回一个无限列表/发电机产生递增的顺序的素数。 $n$ $n$ $n$

测试用例

前几个术语如下：

(#1-13)   7, 13, 19, 37, 61, 109, 127, 193, 271, 331, 397, 433, 547,
(#14-24) 631, 769, 919, 1201, 1453, 1657, 1801, 1951, 2029, 2269, 2437,
(#25-34) 2791, 3169, 3469, 3571, 3889, 4219, 4447, 4801, 5167, 5419,
(#35-43) 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10093, 10267, 11719, 12097,
(#44-52) 12289, 13267, 13669, 13873, 16651, 18253, 19441, 19927, 20173

在OEIS上可以找到更多的术语：根据或，它们分为两个序列：A002407和A002648 $x = 1+y$ $x = 2+y$

— 瑕疵
source

2

我们可以返回未排序的前n个素数吗？

— J42161217

@ J42161217不，素数应按升序排列。

— flawr

23

JavaScript（V8），54个字节

可以永久打印古巴素数的完整程序。

for(x=0;;){for(k=N=~(3/4*++x*x);N%++k;);~k||print(-N)}

在线尝试！

^{注意：除非您在您的打印机有无限的纸张，不要试图在你的浏览器控制台运行此，其中print()可能有不同的含义。}

JavaScript（ES6）， 63 61 60 59字节

返回第 $n$ 个第1个索引的古巴质数。

f=(n,x)=>(p=k=>N%++k?p(k):n-=!~k)(N=~(3/4*x*x))?f(n,-~x):-N

在线尝试！

怎么样？

这是基于以下事实：古巴素数是以下形式的素数：

p_{ñ} = ⌊ \frac{3 ñ^{2}}{4} ⌋ + 1个 ， ñ \geq 3

$p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$

上面的公式可以写成：

p_{ñ} = {\begin{cases} \frac{3 ñ^{2} + 1个}{4} 如果 ñ 很奇怪 \\ \frac{3 ñ^{2} + 4}{4} 如果 ñ 甚至 \end{cases}

$p_n=\begin{cases} \dfrac{3n^2+1}{4}\;\text{ if }n\text{ is odd}\\ \dfrac{3n^2+4}{4}\;\text{ if }n\text{ is even} \end{cases}$

或任何 $y>0$ ：

p_{2 ÿ + 1个} = \frac{3 （ 2 ÿ + 1个 ）^{2} + 1个}{4} = 3 ÿ^{2} + 3 ÿ + 1个

$p_{2y+1}=\dfrac{3(2y+1)^2+1}{4}=3y^2+3y+1$

p_{2 ÿ + 2} = \frac{3 （ 2 ÿ + 2 ）^{2} + 4}{4} = 3 ÿ^{2} + 6 ÿ + 4

$p_{2y+2}=\dfrac{3(2y+2)^2+4}{4}=3y^2+6y+4$

就是 $\dfrac{x^3-y^3}{x-y}$ 表示 $x=y+1$ 和 $x=y+2$ 。

— Arnauld
source

7

05AB1E，16 12 9字节

生成无限列表。
使用Kevin Cruijssen的 Arnaulds公式端口保存了4个字节。
多亏了Grimy，又节省了3个字节

∞n3*4÷>ʒp

在线尝试！

说明

∞          # on the list of infinite positive integers
 n3*4÷>    # calculate (3*N^2)//4+1 for each
       ʒp  # and filter to only keep primes

— 艾米尼亚
source

您在解释中打了错字：“ 将一个副本N^2+3放在堆栈上 ”应该是3*N^2。另外，为什么要)代替¯？因为它更容易输入？出于某种原因，我觉得NnN‚3*¬sO‚可以缩短1个字节，但是我没有看到它。稍等字节的替代方法是Nn3*DN3*+‚。但我可能只是看到不存在的东西..;）好的答案，所以我+1。

— 凯文·克鲁伊森

1

我实际上试图将答案移植到05AB1E，但失败了。：D

— Arnauld

1

实际上，产生一个无限列表是更方便的：9个字节，∞n3* 4÷>ʒp

— Grimmy

1

好吧，我不习惯与自己矛盾的规格。:-)

— WGroleau

6

@WGroleau我认为您那时从未专业开发过软件。当我得到与自己不矛盾的规格时，我会更加担心。

— MikeTheLiar

7

R，75 73字节

n=scan()
while(F<n)F=F+any(!(((T<-T+1)*1:4-1)/3)^.5%%1)*all(T%%(3:T-1))
T

在线尝试！

-2字节，注意如果使用*而不是&（不同的优先级），可以删除方括号。

输出n第古巴古数（1索引）。

它使用了一个事实（在OEIS中给出），古巴质数的形式对于某些为 $p=1+3n^2$ 或 $4p=1+3n^2$ ，即 $n$ $n=\sqrt{\frac{a\cdot p-1}{3}}$ 是 $a=1$ 或 $a=4$ 的整数。

诀窍是没有素数可以是 $2p=1+3n^2$ 或 $3p=1+3n^2$ （*），因此，我们可以通过检查公式保存2个字节 $a\in\{1, 2, 3, 4\}$ （1:4），而不是 $a\in\{1, 4\}$ （c(1,4)）。

代码的略微版本：

# F and T are implicitly initialized at 0 and 1
# F is number of Cuban primes found so far
# T is number currently being tested for being a Cuban prime
n = scan()                       # input
while(F<n){
  T = T+1                        # increment T 
  F = F +                        # increment F if
    (!all(((T*1:4-1)/3)^.5 %% 1) # there is an integer of the form sqrt(((T*a)-1)/3)
     & all(T%%(3:T-1)))          # and T is prime (not divisible by any number between 2 and T-1)
  }
T                                # output T

（*）质数不能为 $3p=1+3n^2$ ，否则 $1=3(p-n^2)$ 将被 $3$ 整除。

除 $p=2$ （不是古巴素数）外，没有其他素数可以具有 $2p=1+3n^2$ ： $n$ 需要为奇数，即 $n=2k+1$ 。扩展得到 $2p=4+12k(k+1)$ ，因此 $p=2+6k(k+1)$ ， $p$ 将是偶数。

— 罗宾·赖德
source

如何通过使用第n个古巴素数的上限来避免循环？

— 西安

@西安我曾考虑过，但无法解决。你是否有一个？

— 罗宾·赖德

5

Wolfram语言（Mathematica），66 65 56字节

(f=1+⌊3#/4#⌋&;For[n=i=0,i<#,PrimeQ@f@++n&&i++];f@n)&

在线尝试！

J42161217 -1通过⌊ ⌋代替Floor[ ]
Attinat
- -1通过使用⌊3#/4#⌋代替⌊3#^2/4⌋
- -8用于For[n=i=0,i<#,PrimeQ@f@++n&&i++]代替n=2;i=#;While[i>0,i-=Boole@PrimeQ@f@++n]

— 速度风格
source

1

65个字节。欢迎来到ppcg。不错的第一答案！+1

— J42161217

谢谢！（长时间潜伏。）我无法完全解析您现有的答案，所以我写了自己的答案，但答案要短一些。我也可以使用Python。

— speedstyle

2

56个字节

— attinat

@attinat我以为Arnauld的公式仅适用于n> 2，所以我没有以0开头-尽管在您的示例中，它适用于所有n（因为它以1 1 4 7 13 ...开头，所以质数为7 13。 ..）

— speedstyle

3

Java 8，94 88 86 84字节

v->{for(int i=3,n,x;;System.out.print(x<1?++n+" ":""))for(x=n=i*i++*3/4;~n%x--<0;);}

使用@SaraJ的Java素数检查器 可得到 -6个字节，因此请确保对她进行！
-2个字节，感谢@OlivierGrégoire。由于我们检查的第一个数字是7，因此我们可以删除%nSara的质数检验器的结尾，后者将终止的循环n=1。@OlivierGrégoire通过移植@Arnauld的答案获得了
-2个字节。

输出不确定的空格。

在线尝试。

说明（旧的86字节版本）： TODO：更新说明

$p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$ 。

v->{                     // Method with empty unused parameter and no return-type
  for(int i=3,           //  Loop-integer, starting at 3
          n,x            //  Temp integers
      ;                  //  Loop indefinitely:
      ;                  //    After every iteration:
       System.out.print( //     Print:
        n==x?            //      If `n` equals `x`, which means `n` is a prime:
         n+" "           //       Print `n` with a space delimiter
        :                //      Else:
         ""))            //       Print nothing
    for(n=i*i++*3/4+1,   //   Set `n` to `(3*i^2)//4+1
                         //   (and increase `i` by 1 afterwards with `i++`)
        x=1;             //   Set `x` to 1
        n%++x            //   Loop as long as `n` modulo `x+1`
                         //   (after we've first increased `x` by 1 with `++x`)
             >0;);}      //   is not 0 yet
                         //   (if `n` is equal to `x`, it means it's a prime)

— 凯文·克鲁伊森
source

我真的不认为这是可行的，但是找到古巴素数的另一种方法是使用以下公式：v->{for(int n=7,i=3,p,x,d,r=0;;i+=++r%2*3,n+=i,System.out.print(x>1?x+" ":""))for(x=n,d=1;++d<n;x=x%d<1?0:n);}，也许有人可以用它来打高尔夫球吗？我不能

— OlivierGrégoire

1

@OlivierGrégoire您可以通过删除未使用的,p并更改i+=++r%2*3,n+=i为来打更多的高尔夫球n+=i+=++r%2*3，但是最后我仍然会得到106个字节。将Java 11 String#repeat与prime-regex一起使用是105个字节：v->{for(int n=7,i=3,r=0;;n+=i+=++r%2*3)if(!"x".repeat(n).matches(".?|(..+?)\\1+"))System.out.println(n);}。

— 凯文·克鲁伊森

是的，尽管我犯了错误（现在很明显），但我猜想它并不适合打高尔夫球。感谢您乘车；）

— OlivierGrégoire

@OlivierGrégoire也许对您也很了解，但是Java中的素数检查循环显然更短。看到我的编辑和SaraJ的主要检查答案。

— 凯文·克鲁伊森

我可能是错的，但是%n不需要最后一个，对吗？

— 奥利维尔·格雷戈尔

2

Wolfram语言（Mathematica），83个字节

(t=1;While[Length[l=Select[Join@@Array[{(v=3#^2+1)+3#,v}&,t++],PrimeQ]]<#];Sort@l)&

在线尝试！

— J42161217
source

2

果冻，12字节

²×3:4‘
ÇẒ$#Ç

在线尝试！

基于@Arnauld的方法。在stdin上取n，并返回那么多古巴素数。

— 尼克·肯尼迪
source

1

Wolfram语言（Mathematica），83个字节

该解决方案将输出第n个古巴素数，并具有快速存储并记住符号f中的所有先前结果的附加优点。

(d:=1+3y(c=1+y)+3b c;e:=If[PrimeQ@d,n++;f@n=d];For[n=y=b=0,n<#,e;b=1-b;e,y++];f@#)&

在线尝试！

— 凯莉·洛德
source

1

空格，180字节

[S S S T    S N
_Push_2][S N
S _Duplicate][N
S S N
_Create_Label_OUTER_LOOP][S N
N
_Discard_top_stack][S S S T N
_Push_1][T  S S S _Add][S N
S _Duplicate][S N
S _Duplicate][T S S N
_Multiply][S S S T  T   N
_Push_3][T  S S N
_Multiply][S S S T  S S N
_Push_4][T  S T S _Integer_divide][S S S T  N
_Push_1][T  S S S _Add][S S S T N
_Push_1][S N
S _Duplicate_1][N
S S S N
_Create_Label_INNER_LOOP][S N
N
_Discard_top_stack][S S S T N
_Push_1][T  S S S _Add][S N
S _Duplicate][S N
S _Duplicate][S T   S S T   T   N
_Copy_0-based_3rd][T    S S T   _Subtract][N
T   S T N
_Jump_to_Label_PRINT_if_0][S T  S S T   S N
_Copy_0-based_2nd][S N
T   _Swap_top_two][T    S T T   _Modulo][S N
S _Duplicate][N
T   S S S N
_Jump_to_Label_FALSE_if_0][N
S N
S N
_Jump_to_Label_INNER_LOOP][N
S S T   N
_Create_Label_PRINT][T  N
S T _Print_as_integer][S S S T  S T S N
_Push_10_(newline)][T   N
S S _Print_as_character][S N
S _Duplicate][N
S S S S N
_Create_Label_FALSE][S N
N
_Discard_top_stack][S N
N
_Discard_top_stack][N
S N
N
_Jump_to_Label_OUTER_LOOP]

字母S（空格），T（制表符）和N（换行符）仅作为突出显示而添加。
[..._some_action]仅作为说明添加。

无限输出换行符分隔。

在线尝试（仅使用空格，制表符和换行符）。

伪代码中的解释：

$p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$

Integer i = 2
Start OUTER_LOOP:
  i = i + 1
  Integer n = i*i*3//4+1
  Integer x = 1
  Start INNER_LOOP:
    x = x + 1
    If(x == n):
      Call function PRINT
    If(n % x == 0):
      Go to next iteration of OUTER_LOOP
    Go to next iteration of INNER_LOOP

function PRINT:
  Print integer n
  Print character '\n'
  Go to next iteration of OUTER_LOOP

— 凯文·克鲁伊森
source

1

Python 3中，110个 108 102字节

与我的Mathematica答案类似的方法（即isPrime(1+⌊¾n²⌋) else n++），使用此高尔夫球质数检查器并返回匿名无限生成器

from itertools import*
(x for x in map(lambda n:1+3*n**2//4,count(2)) if all(x%j for j in range(2,x)))

在线尝试！

甲壳虫 -2因为可以说匿名生成器比命名生成器更受允许
从count2 ₊₁开始为-6，这样and x>1我借用的主要检查程序中的不必要_-7

— 速度风格
source

通常，将变量中的答案视为“输出”的有效形式。您可以重做答案，以便将结果输出到stdout或由函数返回吗？

— mypetlion

1

由于允许使用匿名函数，并且挑战明确允许使用无限生成器，因此我删除了g=。我之所以只包括它，是因为它允许使用来快速查看TIO print(next(g) for i in range(52))。

— speedstyle

1

Japt，14 13字节

改编自Arnauld的公式。1个索引。

@µXj}f@Ò(X²*¾

试试吧

多亏了ImplementationOfIgnorance，节省了1个字节。

— 毛茸茸
source

13个字节？虽然没有彻底测试。

— 无知的体现

谢谢@EmbodimentofIgnorance。我试过了，但是没有用；原来我忘记了(。

— 毛茸茸的

1

球拍，124字节

(require math)(define(f n[i 3])(let([t(+(exact-floor(* 3/4 i i))1)][k(+ 1 i)])(if(prime? t)(if(= 0 n)t(f(- n 1)k))(f n k))))

在线尝试！

返回第0个索引的第n个古巴质数。

使用@Arnauld JavaScript答案的公式

— 加伦·伊万诺夫（Galen Ivanov）
source

1

Python 3，83个字节

永远打印古巴素数。

P=k=1
while 1:P*=k*k;x=k;k+=1;P%k>0==((x/3)**.5%1)*((x/3+.25)**.5%1-.5)and print(k)

在线尝试！

$x = 1+y$ $x=2+y$

p = \frac{（ 1个 + ÿ ）^{3} - ÿ^{3}}{（ 1个 + ÿ ） - ÿ} = 1个 + 3 ÿ + 3 ÿ^{2} \Leftrightarrow ÿ = - \frac{1个}{2} \pm \sqrt{\frac{1个}{4} + \frac{p - 1个}{3}}

$p=\frac{(1+y)^3-y^3}{(1+y)-y} = 1 + 3y +3y^2 \Leftrightarrow y = -\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{p-1}{3}}$

p = \frac{（ 2 + ÿ ）^{3} - ÿ^{3}}{（ 1个 + ÿ ） - ÿ} = 4 + 6 ÿ + 3 ÿ^{2} \Leftrightarrow ÿ = - 1个 \pm \sqrt{\frac{p - 1个}{3}}

$p=\frac{(2+y)^3-y^3}{(1+y)-y} = 4 + 6y +3y^2 \Leftrightarrow y = -1 \pm\sqrt{\frac{p-1}{3}}$

y

$y$

\pm

$\pm$

- 1

$-1$

— ovs
source

1

Perl 6的，33 31个字节

-2个字节归功于Grimy

{grep &is-prime,1+|¾*$++²xx*}

在线尝试！

匿名代码块，返回一个无穷无尽的古巴素数列表。这使用Arnauld公式生成可能的古巴素数，然后对其&is-prime进行过滤。

说明：

{                           }  # Anonymous code block
 grep &is-prime,               # Filter the primes from
                         xx*   # The infinite list
                   ¾*          # Of three quarters
                     $++²      # Of an increasing number squared
                1+|            # Add one by ORing with 1

— 乔·金
source

1

1+0+|可能只是1+|

— 肮脏的

0

Pari / GP，51字节

使用Arnauld公式。

n->a=0;for(i=1,n,until(isprime(p=3*a^2\4+1),a++));p

在线尝试！

— Alephalpha
source

0

APL（NARS），98个字符，196个字节

r←h w;y;c;v
r←c←y←0⋄→4
→3×⍳∼0πv←1+3×y×1+y+←1⋄r←v⋄→0×⍳w≤c+←1
→2×⍳∼0πv+←3×y+1⋄c+←1⋄r←v
→2×⍳w>c

缩进：

r←h w;y;c;v
r←c←y←0⋄→4
    →3×⍳∼0πv←1+3×y×1+y+←1⋄r←v⋄→0×⍳w≤c+←1
    →2×⍳∼0πv+←3×y+1⋄c+←1⋄r←v
    →2×⍳w>c

测试：

  h ¨1..20
7 13 19 37 61 109 127 193 271 331 397 433 547 631 769 919 1201 1453 1657 1801 
  h 1000
25789873
  h 10000
4765143511

它基于：如果y为N，则一个可能的Cuban Prime为

S1=1+3y(y+1)

下一个可能的古巴总理将是

S2=3(y+1)+S1

— 罗斯鲁普
source