构造五边形,避免使用指南针


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规则

您将仅从两个元素开始:点AB,使得AB。这些点占据了一个在所有方向上都是无限大的平面。

在此过程的任何步骤中,您都可以执行以下三个操作中的任何一个:

  1. 画一条穿过两个点的线。

  2. 绘制一个以一个点为中心的圆,使另一个点位于圆上。

  3. 在两个对象(直线和圆)相交处添加一个新点。

您的目标是创建5个点,以使其使用尽可能少的圆形成正五边形(一个5边长相等的凸多边形)的顶点。当然,您可能还有其他要点,但对于常规的五边形,必须有5个要点。您不必为得分而绘制五边形的边缘。

计分

比较两个答案时,画出较少圆圈的答案更好。如果是圆形领带,画出最少线条的答案会更好。如果在圆圈和线条上都打成平局,那么加分最少的答案会更好。

反规则

尽管规则列表是详尽无遗的,并且详细说明了您可以执行的所有操作,但并不是,仅因为我没有说您不能做某事并不意味着您可以。

  • 您不能创建“任意”对象。您会发现某些构造会像在“任意”位置添加一个点并从那里进行工作一样。您不能在相交处以外的其他位置添加新点。

  • 您无法复制半径。一些构造将涉及使用指南针将其设置为两点之间的半径,然后将其拾起并在其他位置绘制一个圆。你不能做这个。

  • 您无法执行限制过程。所有构造必须采取有限数量的步骤。渐近逼近答案还不够好。

  • 您不能绘制圆弧或圆的一部分,以避免在计分中将其计为圆。如果您希望在显示或解释您的答案时在视觉上使用圆弧,因为它们占用的空间较小,请继续,但它们会作为得分的圆。

工具类

您可以在GeoGebra上仔细考虑问题。只需转到形状选项卡。这三个规则等效于使用中心工具的点,线和圆。

举证责任

这是标准,但我要重申。如果对某个特定答案是否有效存在疑问,举证责任由答卷人证明其答案有效,而不是由公众证明答案无效。

在我的Code-Golf网站上这是做什么的?

这是一种形式,类似于尽管有点怪异的编程语言。当前在元数据上有+ 22 / -0共识,即允许这种事情。


12
这就像我在手机上玩的名为Euclidea的游戏一样。
mbomb007


6
下次您应该要求人们绘制一个七边形时,这会更具挑战性:)
更加模糊

3
这是常规的17边形,可以使用标尺和指南针进行构造。我可以给你一个七边形,但这不一定是规则的!
Rosie F

1
仅靠尺子和罗盘,七边形(7面)是不可能的。Mathologer报道了它
Draco18s

Answers:


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2圈13线17分

图片

在GeoGebra上尝试

  • 让圆(A,B)在C和D相交圆(B,A)。
  • 让AB在E处再次与圆(A,B)相交。
  • 让AB在F处再次与圆(B,A)相交。
  • 让AD在G处再次与圆(A,B)相交。
  • 让AD在H处与CF相交。
  • 让BG在I处与DF相交。
  • 让HI与J和K相交圆(A,B)。
  • 让BG与L处的EJ相交。
  • 让BJ在M处与EG相交。
  • 让BG在N处与EK相交。
  • 让BK在O处与EG相交。
  • 让LM在P和S相交圆(A,B)。
  • 让NO在Q和R处相交圆(A,B)。

那么EPQRS是规则的五边形。

为什么有效

令BE在T处与GJ相交,而BE在U处与GK相交。完整的四边形BEGJ显示T是LM 的极点,这是P和S处的切线的交点。类似地,完整的四边形BEGK显示U为。 NO的极点,即Q和R处的切线的交点。

令FG在V处与HI相交。完整四边形DGVI的对角线DV和GI在F和H的谐波共轭处与FH相交。因为第一个是∞,第二个是FH的中点C,也就是说C,D,V是共线的。

让CG在W处与HI相交。

图片

现在是有趣的部分。线FUBAT是透视约g至行VKIHJ,这大约是d透视到圆CKDGJ,这是关于C透视到线路HKVWJ,这是约g透视到线AUF∞T。组合这四个透视图可得出投影性FUBAT⌅AUF∞T。由于一维投影由三个点确定,因此将T和U确定为FBA⌅AF∞的两个固定点。

与A = 0分配坐标,B = -1,F = -2,此投影性由下式定义X ↦4 / X + 2,和它的固定点T = 1 +√5=秒(2π/ 5)和U = 1 −√5= −sec(2π/ 10),正好使EPQRS成为规则五边形。


10
请用文字和符号说明算法的每个步骤。
Rosie F

2
@Servaes这个答案可能需要一些解释,但是我可以告诉您,第三行很好,它是一个垂直平分线,但是它是根据两个预先存在的点而不是垂直平分线定义的。第四个也是一样。
小麦巫师

2
@RosieF抱歉,标签令人讨厌地添加了我制作图片的方式。我在GeoGebra中用标记的点,添加的说明以及指向可在其中进行构造的交互式应用程序的链接重做了此操作。
Anders Kaseorg

2
看起来很简洁,但是您是否想解释为什么结果是规则的五边形?也就是说,为什么EP = PQ = QR = RS = SE?
Minethlos

2
@Minethlos花了一段时间才找到一个很好的证明,但我终于找到了一个我很满意的证明。请注意,投影几何需要大量背景。
Anders Kaseorg

17

7 6圈3线

这是一个经典的五边形结构,可以在这里找到其正确性的证明。

在此处输入图片说明


10

4圈7线

既然被打败了,我想我只想发布这个问题的原始解决方案即可。该解决方案是根据Dixon在Mathographics中给出的方法修改的,可以在此处找到该方法的正确性证明。

  • Circle(A,B)
  • AB¯
  • Circle(A,B)AB¯C
  • Circle(B,C)
  • Circle(C,B)
  • Circle(C,B)Circle(B,C)D
  • Circle(C,B)AB¯E
  • DC¯
  • Circle(C,B)DC¯F
  • Circle(C,B)Circle(B,C)G
  • BG¯
  • BG¯EF¯H
  • HC¯
  • HC¯Circle(C,B)I
  • IA¯
  • IA¯Circle(A,B)J
  • Cirlce(I,J)
  • Circle(I,J)HC¯L
  • Circle(I,J)Circle(C,B)MK
  • ML¯
  • KL¯
  • Circle(C,B)ML¯N
  • Circle(C,B)HC¯O
  • Circle(C,B)KL¯P

MKPON

画画


1
这太棒了!您的某些构造类似于Dixon的方法,但是您的方法巧妙地避免了平分任何东西或构造一条垂直线。
Rosie F

@RosieF它是从Dixon的方法修改而来的,我可能应该提到过。
小麦巫师
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