定义

正整数n是一个实际数字（OEIS序列A005153），前提是所有较小的正整数都可以表示为的不同除数之和n。

例如，18是一个实际数字：其除数为1、2、3、6、9和18，小于18的其他正整数可以形成如下：

 4 = 1 + 3          5 = 2 + 3           7 = 1 + 6
 8 = 2 + 6          10 = 1 + 9         11 = 2 + 9
12 = 3 + 9 = 1 + 2 + 9 = 1 + 2 + 3 + 6
13 = 1 + 3 + 9      14 = 2 + 3 + 9      15 = 6 + 9
16 = 1 + 6 + 9      17 = 2 + 6 + 9

但这14不是一个实际数字：它的除数是1、2、7和14，并且没有这些因数的子集加到4、5、6、11、12或13。

挑战

编写一个程序，函数或动词，以正整数作为输入，x并返回或打印第x ^个实际数字，该数字从1开始索引，以与OEIS保持一致。您的代码必须足够高效，才能在合理的台式计算机上在不到两分钟的时间内处理多达250000个输入。（注意，我在Java中的参考实现在不到0.5秒的时间内管理250000，而我在Python中的参考实现在12秒内管理它）。

测试用例

Input        Expected output
1            1
8            18
1000         6500
250000       2764000
1000000      12214770
3000000      39258256

J（99个字符）

f=:3 :0
'n c'=.0 1
while.c<y do.
'p e'=.__ q:n=.n+2
c=.c+*/(}.p)<:}:1+*/\(<:p^e+1)%<:p
end.
n+n=0
)

由于问题陈述要求输入“程序，函数或动词 ”，因此必须有人提交J陈述。J人会注意到我并不是真正的高尔夫（！）或没有对此进行优化。像其他条目一样，我使用OEIS链接中提到的Stewart定理来测试每个偶数是否可行。

我没有安装J的“合理的台式计算机”的访问权限。在我六岁的上网本上，f 250000计算时间为120.6秒，还不到两分钟，但是大概在任何更合理的计算机上，这都能及时完成。

Mathematica，126 121个字符

感谢belisarius。

在维基百科上使用公式。

f=(i=j=1;While[j<#,If[And@@Thread[#[[;;,1]]<2+Most@DivisorSum[FoldList[#Power@@#2&,1,#],#&]&@FactorInteger@++i],j++]];i)&

例子：

f[1]

1个

f[8]

18岁

f[250000]

2764000

f[250000]在我的计算机上计算花费了70年代。

哈斯克尔-329

s 1=[]
s n=p:(s$div n p)where d=dropWhile((/=0).mod n)[2..ceiling$sqrt$fromIntegral n];p=if null d then n else head d
u=foldr(\v l@((n,c):q)->if v==n then(n,c+1):q else(v,1):l)[(0,1)]
i z=(z<2)||(head w==2)&&(and$zipWith(\(n,_)p->n-1<=p)(tail n)$scanl1(*)$map(\(n,c)->(n*n^c-1)`div`(n-1))n)where w=s z;n=u w
f=((filter i[0..])!!)

例子：

> f 1
1
> f 13
32
> f 1000
6500

这是一个小型测试套件（位于上面）：

import Data.Time.Clock
import System.IO

test x = do
    start <- getCurrentTime
    putStr $ (show x) ++ " -> " ++ (show $ f x)
    finish <- getCurrentTime
    putStrLn $ " [" ++ (show $ diffUTCTime finish start) ++ "]"

main = do
    hSetBuffering stdout NoBuffering
    mapM_ test [1, 8, 1000, 250000, 1000000, 3000000]

使用ghc -O3以下命令编译后的测试结果：

1 -> 1 [0.000071s]
8 -> 18 [0.000047s]
1000 -> 6500 [0.010045s]
250000 -> 2764000 [29.084049s]
1000000 -> 12214770 [201.374324s]
3000000 -> 39258256 [986.885397s]

JavaScript中，306 307 282B

function y(r){for(n=r-1,k=1;n;k++)if(p=[],e=[],c=0,P=s=1,!((x=k)%2|1==x)){while(x>1){for(f=x,j=2;j<=Math.sqrt(f);j++)if(f%j==0){f=j;break}f!=p[c-1]?(p.push(f),e.push(2),c++):e[c-1]++,x/=f}for(i=0;c>i;i++){if(p[i]>P+1){s=0;break}P*=(Math.pow(p[i],e[i])-1)/(p[i]-1)}s&&n--}return k-1}

约250k 我的笔记本电脑上的6s。

已注释的取消注释的代码：http : //jsfiddle.net/82xb9/3/现在具有更好的sigma测试和更好的if条件（谢谢您的评论）

预编辑版本：http ：//jsfiddle.net/82xb9/ http://jsfiddle.net/82xb9/1/