背景

有限数量点的凸包是包含所有点的最小凸多边形，无论是顶点还是内部。有关更多信息，请参见有关PGM的问题，该问题定义得很好。

输入值

N+1N >= 3通过STDIN以下格式的2-D坐标（）（也允许其他常见的高尔夫输入）（小数位数可以变化，但是您可以假定它保持“合理”，并且每个数字都可以表示为浮点数）：

0.00;0.00000
1;0.00
0.000;1.0000
-1.00;1.000000

输出量

STDOUT如果列表中的第一个点（(0.00;0.00000)在上面的示例中）位于其他N个点的凸包中，则打印到（或等效）真值（否则为等价）。

这是代码高尔夫球，因此以字节为单位的最短解决方案为准。

• 边界案例：如果该点位于凸包的边界上（例如，在壳的外部边界的一侧或顶点上），则可以返回任何值（但不会崩溃），因为该概率为零事件（以任何合理的概率）。

• 禁止使用：仅用于解决几何问题的任何内容（语言，运算符，数据结构，内置或包）（例如Mathematica的ConvexHull）。允许使用通用数学工具（矢量，矩阵，复数等）。

测验

• 应该返回TRUE：spiralTest1-TRUE，squareTest1-TRUE
• 应该返回FALSE：spiralTest2-FALSE，squareTest2-FALSE

， 40 39 34个字节

3 :'(o.1)<(>./-<./)12 o.y*+{.y'@:-

一个匿名二进位函数，将点p作为其参数之一，并将点列表P作为另一个参数（无论哪个参数无关紧要），如果p在或之外，则返回0or 1。在P的凸包内部。点p和P中的点被视为复数。

例

  is_inside =: 3 :'(o.1)<(>./-<./)12 o.y*+{.y'@:-

  0.5j0.5  is_inside  0j0 0j1 1j0 1j1
1
  1.5j0.5  is_inside  0j0 0j1 1j0 1j1
0

要么...

Python 2，函数， 121 103，完整程序， 162

Python 3，149字节

import sys,cmath as C
p,q,*P=[complex(*eval(l.replace(*";,")))for l in sys.stdin]
A=[C.phase((r-p)/(q-p+(q==p)))for r in P]
print(max(A)-min(A)>C.pi)

通过STDIN以与原始帖子相同的格式输入输入，并打印一个布尔值，该值指示p是否在P的凸包中

说明

程序检测的最大值和最小值（符号）之间的差是否任何点之间的角度- [R在P，p，和一个固定的任意的点q在P（我们只使用在第一点P），是小于180°。换句话说，它测试P中的所有点是否都包含在p周围的180°或更小的角度中。 p是在的凸包P当且仅当该条件为假。

以更多的字节为代价，我们可以使用类似的方法，该方法不需要我们显式地计算角度：请注意，上述条件等效于说且仅当存在时p位于P的凸包之外。一条从l到p的线，使得P中的所有点都在l的同一侧。如果存在这样一条线，那么也有一条线入射到P中的一个（或多个）点（我们可以旋转l直到它碰到P中的一个点）。

为了（暂时）找到这条线，我们首先让l为穿过p的线和P中的第一个点。然后，我们遍历P中的其余点；如果其中一个点位于l的左侧（我们假设整个方向性，实际上左右无关紧要），我们将l替换为穿过p和该点的线，然后继续。在对所有P进行迭代之后，如果（且仅当）p在凸包之外，则P中的所有点都应在l的右侧（或上方）。我们通过第二遍检查P中的点来检查。

Python 2，172字节

import sys
P=[eval(l.replace(*";,"))for l in sys.stdin]
x,y=P.pop(0)
C=lambda(a,b),(c,d):(a-x)*(d-y)-(b-y)*(c-x)>0
l=reduce(lambda*x:x[C(*x)],P)
print any(C(l,q)for q in P)

或者，为了做同样的事情在单次通过，让以最左的是任何两个点之间的维吾尔q和- [R ，在P，使得q是向左的ř如果q是向左穿过p和r的那一行。请注意，当且仅当P中的所有点都在通过p的某条线的同一侧时，即p在P的凸包之外时，to-the-left-of才是P上的顺序关系。上述过程在P中找到最小值此顺序，即P中的“最左”点。无需执行两次遍历，我们可以在一次遍历中以相同顺序找到P点的最大值（即“最右边”的点）和最小值，并验证最小值在顶点的左侧。最大，即有效地，最左边的是传递的。

如果p在P的凸包之外，这会很好地工作，在这种情况下，to-the-left实际上是一个顺序关系，但是当p在凸包内时可能会破裂（例如，尝试找出将如果运行此算法，则P中的点是正五边形的顶点，沿逆时针方向运行，p是其中心。如果要适应，我们将算法稍作改动：我们在P中选择一个点q，并等分P沿着穿过p和q的线（即，我们在q周围划分P现在，我们有一个P的一个“左部分”和一个“右部分” ，每个部分包含在一个半平面中，因此，在每个部分的最左边是一个顺序关系；我们找到左边的最小值，右边的最大值，并如上所述进行比较。当然，我们不必在物理上将P分为两等分，我们可以在一次寻找最小和最大值的过程中简单地对P中的每个点进行分类。

Python 2，194个字节

import sys
P=[eval(l.replace(*";,"))for l in sys.stdin]
x,y=P.pop(0)
C=lambda(a,b),(c,d):(a-x)*(d-y)-(b-y)*(c-x)>0
l=r=P[0]
for q in P:
 if C(P[0],q):l=q*C(l,q)or l
 elif C(q,r):r=q
print C(l,r)

八度，82 72字节

d=dlmread(0,";");i=2:rows(d);~isna(glpk(i,[d(i,:)';~~i],[d(1,:)';1]))&&1

这个想法是检查线性程序min {c'x：Ax = b，e'x = 1，x> = 0}是否具有解，其中e是所有矢量，A的列是A的坐标点云，b是测试点，c是任意的。换句话说，我们尝试将b表示为A列的凸组合。

要运行脚本，请使用 octave -f script.m <input.dat

R，207字节

d=read.csv(file("stdin"),F,";")
q=function(i,j,k)abs(det(as.matrix(cbind(d[c(i,j,k),],1))))
t=function(i,j,k)q(i,j,k)==q(1,i,j)+q(1,i,k)+q(1,j,k)
any(apply(combn(2:nrow(d),3),2,function(v)t(v[1],v[2],v[3])))

该脚本从STDIN获取其输入，例如Rscript script.R < inputFile。

它从N最后一个点（最后一条线apply(combn(...）生成所有三角形，并使用t函数检查第一个点是否在三角形中。

t使用area方法来确定Uin 是否在ABC：（写入(ABC)的区域ABC）U在ABCiff中(ABC) == (ABU) + (ACU) + (BCU)。另外，面积是使用行列式公式计算的（有关Wolfram的演示，请参见此处）。

我怀疑这种解决方案比其他解决方案更容易出现数字错误，但它适用于我的测试用例。

R，282字节

d=read.csv(file("stdin"),F,";")
p=function(a,b)a[1]*b[1]+a[2]*b[2]
t=function(a,b,c){A=d[a,];
U=d[1,]-A
B=d[b,]-A
C=d[c,]-A
f=p(C,C)
g=p(B,C)
h=p(U,C)
i=p(B,B)
j=p(U,B)
k=f*i-g*g
u=i*h-g*j
v=f*j-g*h
min(u*k,v*k,k-u-v)>0}
any(apply(combn(2:nrow(d),3),2,function(v)t(v[1],v[2],v[3])))

该脚本从STDIN获取其输入，例如Rscript script.R < inputFile。

它从N最后一个点（最后一条线apply(combn(...）生成所有三角形，并使用t函数检查第一个点是否在三角形中。

t使用重心方法来确定是否U在ABC:（XY为Xto Y向量写），因为它(AB,AC)是平面的基础（A，B，C对齐的退化情况除外），AU可以写为AU = u.AB + v.AC，U并在三角形iff中u > 0 && v > 0 && u+v < 1。例如，在这里查看更详细的解释和漂亮的交互式图表。注意：为了省几个字符，避免DIV0错误，我们只计算一个快捷方式u，并v和修改的测试（min(u*k,v*k,k-u-v)>0）。

使用的唯一算术运算符+，-，*，min()>0。