给定单个正整数的输入，则输出对应于该整数的“交叉替代总和”。

以输入为例n=5。要查找交叉替换的总和，请首先创建一个宽度和高度的正方形网格，该网格n从左至右，从上至下依次从1每个位置开始并增加一个：

 1  2  3  4  5
 6  7  8  9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25

然后，从构成“十字”（即，两个对角线合并）的网格中求和：

 1           5
    7     9
      13
   17    19
21          25

1 5 7 9 13 17 19 21 25

最后，取该序列的交替总和：

1+5-7+9-13+17-19+21-25

-11

另一个示例，for n=6（只是为了显示偶数编号的十字架的样子n）：

 1  2  3  4  5  6
 7  8  9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36

 1              6
    8       11
      15 16
      21 22
   26       29
31             36

1+6-8+11-15+16-21+22-26+29-31+36

20

由于这是code-golf，因此以字节为单位的最短代码将获胜。

以下是n=1to 的正确输出n=100，您可以将其用作测试用例：

1
4
-3
10
-11
20
-23
34
-39
52
-59
74
-83
100
-111
130
-143
164
-179
202
-219
244
-263
290
-311
340
-363
394
-419
452
-479
514
-543
580
-611
650
-683
724
-759
802
-839
884
-923
970
-1011
1060
-1103
1154
-1199
1252
-1299
1354
-1403
1460
-1511
1570
-1623
1684
-1739
1802
-1859
1924
-1983
2050
-2111
2180
-2243
2314
-2379
2452
-2519
2594
-2663
2740
-2811
2890
-2963
3044
-3119
3202
-3279
3364
-3443
3530
-3611
3700
-3783
3874
-3959
4052
-4139
4234
-4323
4420
-4511
4610
-4703
4804
-4899
5002

果冻，21 19 11 10 7字节

²~³¡H+2

在线尝试！

理念

假设最后一笔的第一项是减去而不是加一秒钟。

令n为正整数。

偶数情况

 1              6
    8       11
      15 16
      21 22
   26       29
31             36

行的下半部分对角元素之间的差是前n÷2个奇数自然数。由于1 + 3 + 5 +…+（2k +1）= k ²，它们的总和为（n÷2）² = n ² ÷4。

在这个例子中

- 1 + 6 - 8 + 11 - 15 + 16 - 21 + 22 - 26 + 29 - 31 + 36  =
-(1 - 6)-(8 - 11)-(15 - 16)-(21 - 22)-(26 - 29)-(31 - 36) =
(    5   +   3    +    1  )+(   1    +    3    +    5   ) =
             9             +              9               = 18

因此，总和为2×n ² ÷4 = n ² ÷2。

奇怪的情况

 1           5
    7     9
      13
   17    19
21          25

上下对应行上的对角元素之间的差异（1和5，和21和25；7以及9，和17和19）是相同的，因此它们将在交替和中抵消。

在这个例子中

- 1 + 5 - 7 + 9 - 13 + 17 - 19 + 21 - 25  =
-(1 - 5)-(7 - 9)- 13 +(17 - 19)+(21 - 25) =
    4   +   2   - 13 -    2    -    4     = -13

剩下的就是中心元素的负数，即第一个和最后一个数字的算术平均值，因此可以将其计算为-（n ² +1）÷2。

一般情况

由于〜x =-（x + 1）是二进制补码（〜表示按位非），因此奇数情况的公式可以重写为〜n ² ÷2。

另外，由于原始和的第一项（1）被添加而不是被减去，因此上述公式留下了误差2，必须对其进行校正。

因此，第n ^个交叉交替总和是Ñ ² ÷2 + 2如果Ñ是偶数，并且〜n的² ÷2 + 2，如果它为奇数。

最后，按位NOT不是对合，即，对于所有x，~~ x = x。这样~~~ X =〜X，~~~~ X = X，并且，在一般情况下，〜^Ñ X（意味着〜施加Ñ倍）是X如果Ñ是偶数且〜X，如果它为奇数。

因此，我们可以重写我们的一般公式〜^ñ ñ ² ÷2 + 2的所有正整数ñ。

码

²~³¡H+2    Main link. Input: n

²          Yield n².
 ~         Apply bitwise NOT to n²...
  ³¡           n times.
    H      Halve the result.
     +2    Add 2.

JavaScript，40 38 22字节

使用那种新奇的，花哨的封闭表格解决方案真是风靡一时！

n=>(n%2?3-n*n:4+n*n)/2

多亏了ThomasKwa，我可以省去我昂贵的递归函数。

果冻，12个字节

RṖµ²+‘×-*$SC

在这里尝试。

CJam，13个15字节

ri2#_{~}*2/2+

多亏丹尼斯（Dennis），节省了两个字节。

在线尝试！

Minkolang 0.15，26个 15 13字节

使用丹尼斯的疯狂算法，多亏了他，他又打了两个字节。那家伙负责减少字节数！

n2;d[~]4+2:N.

在这里尝试！

说明

@VoteToClose n^ 2，按位进行NOT运算n，加四，减半。– Thomas Kwa 7分钟前

有关为何有效的说明，请参见丹尼斯的答案。在对此答案的评论中，他提出了另一个可行的改进，因为它:是整数除法，因此我可以取反堆栈的顶部，而不用担心二进制补码的+1。此外，n和n ^ 2具有相同的奇偶校验，从而无需交换。

n                Take number from input - n
 2;              n**2
   d             Duplicates top of stack
    [~]          For loop that negates the top of stack n times
       4+        Add 4
         2:      Divide by 2
           N.    Output as number and stop.

GolfScript，12个字节

~2?.{~}*2/2+

这使用了我的Jelly答案中的算法。在线尝试！

怎么运行的

~            # Evaluate the input.
 2?          # Square it.
   .         # Push a copy of the square.
    {~}      # Push a code block that applies bitwise NOT.
       *     # Execute it n² times. Since n² and n have the same parity,
             # this is equivalent to executing in only n times.
        2/   # Halve the result.
          2+ # Add 2.

ES7，17个字节

n=>-1**n*n*n+4>>1

@Dennis的Python 2答案的简单端口。

在编写此答案时，我也设法将ES6端口打入17个字节！

n=>(n*n^-n%2)/2+2

MATL，13 27字节

使用丹尼斯惊人的公式：

2^t2\?Q_]2/2+

在线尝试！

直接处理（27个字节）：

2^:GtetXdwPXdhutn:-1w^!*s2+

纯净重击，28岁

现在，@ Dennis向我们展示了所有方法，这需要更新：

echo $[-1**$1*($1*$1+1)/2+2]

先前的答案：

Bash + GNU实用程序，77

这是一个开始：

a=$1
(seq 1 $[a+1] $[a*a]
seq $1 $[a>1?a-1:1] $[a*a])|sort -un|paste -sd+-|bc

N作为命令行参数传递。

paste在这里产生交替和真的很方便。该-d选项允许循环使用分隔符列表。

朱莉娅41 40 25 19 16字节

n->-n%2$n^2÷2+2

这是一个接受整数并返回整数的匿名函数。要调用它，请将其分配给变量。

由丹尼斯（Dennis）设计的方法如下。首先，我们获得n的奇偶校验，即n（模2），并将其取反。对于偶数输入，这给了我们0；对于奇数输入，这给了我们-1。然后，我们对n ²进行按位XOR运算。当n为偶数时，这只是n ^2，因为与0的XOR只是数字。当n为奇数时，与-1的XOR与按位求反相同。所以在这一点上，我们要么有ñ ²或按位NOT ñ ²。我们将其除以2并加2得到结果。

在以前的版本中，由于Sp3000节省了一个字节，而在此版本中，由于Dennis节省了9个字节！

Jolf，13个字节

在这里尝试！

½?mρj-3Qj+4Qj
 ?mρj         if parity of j
     -3Qj     return 3 - j*j
         +4Qj else return 4 + j*j
½             (and halve the result)

Python 2，24字节

lambda n:(-1)**n*n*n/2+2

这使用了我的Jelly答案中的算法，并做了一些小的修改：

我们不应用~ n次，而是应用- n次（乘以（-1）ⁿ）。这是等效的，因为〜x = -x-1和Python中的整数除数，因此〜x / 2 =（-x-1）/ 2 = -x / 2。

Pyth，11个字节

+2/u_GQ*QQ2

在Pyth编译器中在线尝试。

怎么运行的

这使用了我的Jelly答案中的算法，并做了一些小的修改：

我们不应用~ n次，而是应用- n次（乘以（-1）ⁿ）。这是等效的，因为〜x = -x-1且整数分位数为Pyth，所以〜x / 2 =（-x-1）/ 2 = -x / 2。

+2/u_GQ*QQ2  Evaluated input: Q

       *QQ   Yield Q².
   u  Q      Set G = Q². For each non-negative integer below Q:
    _G         Set G = -G.
             Return G.
  /       2  Halve the result.
+2           Add 2.

直流电，17

使用来自丹尼斯的相同的久经考验的公式：

?dd*1+r_1r^*2/2+p

在线尝试 _{哦，为什么Ideone bash沙箱不包含dc？}

命令行测试：

for i in {1..100}; do echo $i | dc -e '?dd*1+r_1r^*2/2+p'; done 

GS2，9个字节

V,@!α2+''

这使用了我的Jelly答案中的算法。在线尝试！

V,@e 7+''

同样短，但明显不包含非ASCII字符。

怎么运行的

V          Parse the input as an integer n.
 ,         Compute n².
  @        Push a copy of n².
   !       Bitwise NOT.
    α      Make a block of the previous instruction.
     2     Execute the block n² times. Since n² and n have the same parity,
           this is equivalent to executing in only n times.
      +    Halve the result.
       ''  Increment twice.

J，16个字节

[:<.2%~4+*:*_1^]

这使用与我的果冻答案相同的算法。用J.js进行测试。

Lua，33个字节（在线尝试）

i=(...)print((-1)^i*i*i/2-.5*i%2)

怎么运行的：

i=(...)print((-1)^i*i*i/2-.5*i%2)
i=(...)                           Take input and store to i
       print(
             (-1)^i               Raise (-1) to the i-th power: -1 if odd, 1 if even
                   *i*i/2         Multiply by i squared and halved.
                         -.5*i%2  i%2 is the remainder when i is divided by 2
                                  if i is odd, then i%2 will be 1, and this expression
                                  will evaluate to -0.5
                                  but if i is even, then i%2 will be 0, which makes
                                  this expression evaluate to 0
                                )

Dyalog APL，13个字节

⌊2+.5××⍨ׯ1*⊢

这使用与我的果冻答案相同的算法。在TryAPL上进行测试。