一零分红

28

挑战说明

对于每个正整数n，存在一个其形式111...10...000可被n整数整除的数字，即以all开头并以all 1结尾的十进制数0。这很容易证明：如果我们采用（全）n+1形式的一组不同数字，那么除以后（根据信鸽原理），至少其中两个将给出相同的余数。这两个数字的差可以被期望的形式整除。您的目标是编写一个找到该数字的程序。111...1111nn

输入说明

一个正整数。

输出说明

许多p的形式111...10...000，使得p ≡ 0 (mod n)。如果找到多个-请显示其中任何一个（不一定是最小的）。

笔记

您的程序必须在合理的时间内给出答案。这意味着不允许强行使用：

p = 0
while (p != 11..10.00 and p % n != 0)
    p++

这也不是：

do
    p = random_int()
while (p != 11..10.00 and p % n != 0)

11..10..00允许以形式遍历数字。

您的程序不需要处理任意大的输入-上限就是您语言的上限。

样本输出

2: 10
3: 1110
12: 11100
49: 1111111111111111111111111111111111111111110
102: 1111111111111111111111111111111111111111111111110
code-golf  math  arithmetic  number-theory 
— hoo
source
我们可以为可能的输出设置一个合理的上限吗？（大约少于24亿（有符号整数的最大值）的东西应该可以，因为某些实现可能需要数组或列表）
— Tamoghna Chowdhury
@MartinBüttner我认为第一个令人满意的输出应该就足够了（合理的时间框架约束）
— Tamoghna Chowdhury 16/02/28
在49个测试用例中，最后一个0是不必要的。
— CalculatorFeline
@CatsAreFluffy我认为所有数字都必须包含1至少一个0，至少一个，否则0是任何输入的解决方案。（尽管可以澄清这一点。）
— 马丁·恩德
只需要一个就1可以了。
— CalculatorFeline

Answers:

22

Mathematica，29个字节

⌊10^(9EulerPhi@#)/9⌋10^#&

MartinBüttner编写的代码。

在输入时n，这会输出带9*ϕ(n)1 的数字，后跟n零，这ϕ是Euler上位函数。使用函数phi可以用Python表示为

lambda n:'1'*9*phi(n)+'0'*n

使用阶乘n!代替，就足够了ϕ(n)，但是打印出许多阶乘并没有合理的运行时间。

声明： 9*ϕ(n) 1后跟n零是的倍数n。

证明：首先，让我们证明这一点对于该案件n不是的倍数2，3或5。我们将显示由ϕ(n)1 组成的数字是n的倍数。

由1组成k的数字相等(10^k-1)/9。由于n不是的倍数3，因此这是的倍数，n只要10^k-1是的倍数即可n，或者等价于10^k = 1 (mod n)。请注意，这种表述很明显，如果k对一个数有效，那么的任意倍数也是如此k。

因此，我们正在寻找模n的乘法组k中的阶数k的倍数。根据拉格朗日定理，任何这样的阶数都是该组大小的除数。由于该组的元素是从1到的n素数n，因此其大小就是Euler上位函数 ϕ(n)。因此，我们已经证明10^ϕ(n) = 1 (mod n)，所以由1组成的数字ϕ(n)是`n的倍数。

现在，让我们处理3in中的潜在因素n。我们知道这10^ϕ(n)-1是的倍数n，但(10^ϕ(n)-1)/9可能不是。但是，(10^(9*ϕ(n))-1)/9是的倍数，9因为它由9*ϕ(n)1 组成，所以其数字的总和是的倍数9。而且我们已经注意到，将指数乘以k常数可以保留可除性。

现在，如果n有因素2的和5的，我们需要添加零结束的输出。使用n零已经足够了（实际上log_2(n)会这样做）。因此，如果我们将输入n拆分为n = 2^a * 5^b * m，则其输入数9*ϕ(m)应为的倍数n，再乘以10^n的倍数即可2^a * 5^b。并且，由于n是的倍数m，因此只需使用9*ϕ(n)一个即可。因此，工作原理是先加9*ϕ(n)一个n零。

— 异或
source
12
只是为了确保没有人认为未经我的许可就发布了此内容：xnor独自提出了该方法并进行了证明，而我只是向他提供了Mathematica实现，因为它具有内置EulerPhi功能。实际的实现没有什么令人费解的，因此我将充分考虑他自己的工作。
— Martin Ender
9

Python 2，44字节

f=lambda n,j=1:j/9*j*(j/9*j%n<1)or f(n,j*10)

当j为10的幂（例如1000）时，楼层划分j/9给出的数字由1组成，例如111。因此，j/9*j给出1的后跟相等的0数量，例如111000。

该函数递归地测试这种形式的数字，并尝试使用越来越高的10的幂，直到我们找到所需数字的倍数。

— 异或
source
1
哦，好点，我们只需要检查1 ^ n0 ^ n ...
— Martin Ender
@MartinBüttner如果更简单，则只需将0的数量固定为输入值即可。但是不知道打印那么多的零是否有效。
— xnor
为什么检查1 ^ n0 ^ n有效？
— 林恩
5
@Lynn添加更多零不会造成伤害，并且存在无限多个可能的1，某个数字将同时具有足够的1和0。
— xnor
5

Pyth，11个字节

.W%HQsjZ`TT

测试套件

基本上，它只是一遍又一遍地在前面放一个1，在后面放一个0，直到该数字可被输入整除。

说明：

.W%HQsjZ`TT
                Implicit: Q = eval(input()), T = 10
.W              while loop:
  %HQ           while the current value mod Q is not zero
      jZ`T      Join the string "10" with the current value as the separator.
     s          Convert that to an integer.
          T     Starting value 10.
— 伊萨格
source
4

Haskell，51个字节

\k->[b|a<-[1..],b<-[div(10^a)9*10^a],b`mod`k<1]!!0

使用xnor的方法。妮米保存了一个字节！

— 林恩
source
3

CJam，28 25 19字节

使用xnor的观察结果节省了6个字节，我们只需要查看表单的数字即可。1n0n

ri:X,:)Asfe*{iX%!}=

在这里测试。

说明

ri:X    e# Read input, convert to integer, store in X.
,:)     e# Get range [1 ... X].
As      e# Push "10". 
fe*     e# For each N in the range, repeat the characters in "10" that many times,
        e# so we get ["10" "1100" "111000" ...].
{iX%!}= e# Select the first element from the list which is divided by X.
— 马丁·恩德
source
2

Mathematica，140 55字节

NestWhile["1"<>#<>"0"&,"1",FromDigits@#~Mod~x>0&/.x->#]

由于xnor的1 ^ n0 ^ n技巧，删除了许多字节。

最小值140 156字节 这给出了最小的解决方案。

NestWhile["1"<>#&,ToString[10^(Length@NestWhileList[If[EvenQ@#,If[10~Mod~#>0,#/2,#/10],#/5]&,#,Divisors@#~ContainsAny~{2, 5}&],FromDigits@#~Mod~m>0&/.m->#]&

它计算需要多少个零，然后检查所有可能的1计数，直到它起作用为止。它可以输出不为0的数字，但可以通过<>"0"在final之前添加一个权利来固定该数字&。

— 猫科动物
source
2

Haskell，37个字节

f n=[d|d<-"10",i<-[1..n*9],gcd n i<2]

这利用了它具有一个事实的事实，欧拉totient函数9*phi(n)在哪里phi。在这里，它是使用gcd和过滤实现的，它i为范围1和中的每个相对底数产生一个数字9*n。使用这么多的零也足够了。

— 异或
source
2

JavaScript（ES6），65个字节

编辑保存的2个字节thx @Neil

它在javascript数字类型的范围内有效，具有17个有效数字。（非常有限）

a=>{for(n='';!(m=n+=1)[17];)for(;!(m+=0)[17];)if(!(m%a))return+m}

少打高尔夫球

function (a) {
    for (n = ''; !(m = n += '1')[17]; )
        for (; !(m += '0')[17]; )
            if (!(m % a))
                 return +m;
}
— edc65
source
1
为什么不for(m=n;呢？
— 尼尔
@Neil，因为我至少需要一个零。也许我可以找到一个更短的方法...（编辑）
— edc65 '16
哦，这个问题尚不清楚，但是我现在看到样本输出全部都至少有一个零。在这种情况下，您仍然可以使用来保存一个字节for(m=n;!m[16];)if(!((m+=0)%a))。
— 尼尔
1
@Neil甚至2个字节。Thx
— edc65 '16
1

Perl 5，26个字节

包含一个字节-n（-M5.01是免费的）

($.="1$.0")%$_?redo:say$.
— msh210
source
0

bc，58个字节

define f(n){for(x=1;m=10^x/9*10^x;++x)if(m%n==0)return m;}

样品结果

200: 111000
201: 111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000
202: 11110000
203: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
204: 111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000
205: 1111100000
206: 11111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000
207: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
208: 111111000000
209: 111111111111111111000000000000000000
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211: 111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000
212: 11111111111110000000000000
213: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
214: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000
215: 111111111111111111111000000000000000000000
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217: 111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000
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— 托比·斯皮特（Toby Speight）
source
0

dc，27位元组

Odsm[O*lmdO*sm+O*dln%0<f]sf

这定义了一个函数f，该函数期望在变量中使用其参数n。要将其用作程序，?sn lfx p从stdin读取，调用函数并将结果打印到stdout。m必须将变量和堆栈顶部重置为10（重复Odsm），然后f才能重新使用。

结果：

200: 111000
201: 111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000
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219: 111111111111111111111111000000000000000000000000
— 托比·斯皮特（Toby Speight）
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