几乎每个函数都可以表示为具有无限项的多项式。

例如， e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...

例如， sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

n第-个项的系数形成一个序列，相应的函数称为生成函数该序列。

的系数 n第-项形成一个序列。

通常，n-th项的分母为n!。因此，我们将系数乘以n!得到另一个序列，该序列的指数生成函数将是原始函数。

例如，其指数生成函数为的序列e^x将为1,1,1,1,...。

例如，其指数生成函数为的序列sin(x)将为0,1,0,-1,0,1,0,-1,...。

任务

您的任务是找到指数生成函数为n的序列的第n个项。tan(x)

测试用例

n result
0 0
1 1
2 0
3 2
4 0
5 16
6 0
7 272
8 0
9 7936
10 0
11 353792
12 0
13 22368256
14 0
15 1903757312
16 0
17 209865342976
18 0
19 29088885112832
20 0
21 4951498053124096
22 0
23 1015423886506852352
24 0
25 246921480190207983616
26 0

（从此处复制。）（警告：0 -th个术语是不同的）

示例实施

# copied from https://github.com/Mego/Seriously/blob/v2.0/SeriouslyCommands.py#L16
def memoized(f):
    memo = {}
    def m_fun(*args):
        if args in memo:
            return memo[args]
        else:
            res = f(*args)
            memo[args] = res
            return res
    return m_fun

# copied from https://github.com/Mego/Seriously/blob/v2.0/SeriouslyCommands.py#L169
@memoized
def binomial(n,r):
    if r > n:
        return 0
    elif r==n:
        return 1
    res = 1
    i = 1
    while i<=r:
        res *= (n+1-i)
        res /= i
        i+=1
    return int(res)

# 2*u(n+1) = Sum_{k=0..n} binomial(n, k)*u(k)*u(n-k)
# from A000111
@memoized
def u(n):
    if n<0: return 0
    if n==0: return 1
    if n==1: return 1
    return sum([binomial(n-1,k)*u(k)*u(n-1-k) for k in range(n)])//2     

def t(n):
    if n%2 == 0: return 0
    return u(n)

print('\n'.join([str(x) + ' ' + str(t(x)) for x in range(26)]))

伊迪恩！

参考文献

• 维基百科上的生成函数
• 维基百科上的指数生成函数
• 维基百科上的指数生成函数示例
• 在MathWorld上生成函数
• MathWorld上的指数生成函数
• 维基百科上的泰勒系列
• 推导所需序列的前9个项
• 强制性OEIS A009006（请注意0-第一项是不同的）
• 算法
• OEIS A000111：上下数字

CJam（33 32 27 26 23 20字节）

2,{ee::*_(@+.+}ri*0=

在线演示

解剖

这实质上实现了xnor描述的重现。

2,        e# [0 1] represents the base case f(0,j) = j==1
{         e# Loop...
  ee::*   e#   Multiply each array element by its index
  _(@+.+  e#   Sum the array shifted left and the array shifted right
}ri*      e# ... n times
0=        e# Evaluate at j=0

或者使用另一种不同的方法，获取23个字节：

ri_1&a{{1$+}*]W%0+}@*0=

在线演示。感谢Dennis提供3个字节。

解剖

1a         e# Push [1]
{          e# Repeat...
  {1$+}*]  e#   Compute array of partial sums
  W%0+     e#   Reverse and append 0
}qi:A*     e# ... A times, where A is the input value
0=A1&*     e# Result is first element if A odd, and 0 otherwise

或者使用非常不同的方法，为29个字节：

qie!Ma-{W\+W+3ew{_$.=1=},!},,

在线演示

不幸的是，输入需要特殊情况0。

解剖

qi            e# Take an integer n from stdin
e!            e#   Compute all permutations of [0 ... n-1]
Ma-           e#   Special-case n=0
{             e#   Filter...
  W\+W+       e#     Prepend and postpend -1
  3ew         e#     Take slices of 3 consecutive elements
  {           e#     Filter...
    _$.=1=    e#       Test whether the middle element is the second largest
  },!         e#     ... and require no matches
},,           e#   ... and count

您可能在想“ WTF ？！他在回答错误的问题。” 如果是这样，那是可以理解的，但是两种方法的确可以给出正确的结果。

朱莉娅40 38 32字节

!n=2(2*4^n-2^n-0^n)abs(zeta(-n))

输入和输出为BigFloats 形式。在线尝试！

背景

切线函数的Maclaurin系列满足恒等式

每当x处于其收敛半径时，其中B _n是伯努利数。

由于B _{2（n + 1）}和（-1）ⁿ具有相同的符号，如果n> 0且B ₁ = 1/2，则B _{2n + 1} = 0，我们可以如下重写。

此外，只要n为非负整数，我们就有

其中ζ表示黎曼Zeta函数。

由此，按照约定0 ⁰ = 1，得出

这是实现使用的公式。

Python，57个字节

f=lambda i,j=0:~-j*f(i-1,j-1)-~j*f(i-1,j+1)if i else j==1

少打高尔夫球：

f=lambda i,j=0:j==1 if i==0 else (j-1)*f(i-1,j-1)+(j+1)*f(i-1,j+1)

我们可以i通过微分切线函数i时间并在处求值来计算指数生成函数的th系数0。每个导数都是的多项式tan(x)，其值为0是其常数项。

我们用函数递归表示的tan(x)**j一i阶导数的系数。递归表达式来自关系tanf(i,j)tan(x)' = 1 + tan(x)**2。

所以，的导数tan(x)**j是

j*tan(x)**(j-1)*(tan(x)**2+1), or equivalently
j*tan(x)**(j+1) + j*tan(x)**(j-1)

因此，tan(x)**j在ith导数中的贡献者是tan(x)**(j-1)和tan(x)**(j+1)在(i-1)st导数中，各自的系数等于其幂。这给出了递归表达式

f(i,j) = (j-1)*f(i-1,j-1) + (j+1)*f(i-1,j+1)

请注意，我们不必排除负指数，j因为它们的总和为零，也不j=0会有贡献，因为相交的乘数为0。

基座壳体的i==0对应于tan(x)自身与j==1和零个系数否则。最终评估在固定期限内进行j=0，该常数作为默认值输入。

Mathematica，20个字节

Tan@x~D~{x,#}/.x->0&

直截了当的方法。计算tan（x）的n ^阶导数，并在x = 0时求值。

用法

Haskell，48个字节

0%1=1
0%_=0
i%j=sum[k*(i-1)%k|k<-[j+1,j-1]]
(%0)

我们可以i通过微分切线函数i时间并在处求值来计算指数生成函数的th系数0。每个导数是中的多项式tan(x)，并且0处的值是其常数项。

我们用函数递归表示的tan(x)^j一i阶导数的系数。递归表达式来自该关系。tani%jtan(x)' = 1 + tan(x)^2

所以，的导数tan(x)^j是

j*tan(x)^(j-1)*(tan(x)^2+1), or equivalently
j*tan(x)^(j+1) + j*tan(x)^(j-1)

因此，tan(x)^j在ith导数中的贡献者是tan(x)^(j-1)和tan(x)^(j+1)在(i-1)st导数中，各自的系数等于其幂。

果冻，12 11 字节

Ṛ+\;S
ḂÇ⁸¡Ḣ

就像彼得·泰勒的CJam答案，这个计算ñ的短期日欧拉向上/向下顺序如果ñ是奇数和特殊情况下甚至ñ为0。

在线尝试！或验证所有测试用例。

怎么运行的

ḂÇ⁸¡Ḣ  Main link. Argument: n

Ḃ       Bit; yield n's parity.
 Ç⁸¡    Apply the helper link (Ç) n (⁸) times.
    Ḣ   Head; retrieve the first element of the resulting list.


Ṛ+\;S   Helper link. Argument: A (list or 1/0)

Ṛ       Cast A to list (if necessary) and reverse the result.
 +\     Take the cumulative sum.
   ;S   Append the sum of A.

Sage，26个字节

lambda n:tan(x).diff(n)(0)

与面向数学的语言中的其他解决方案一样，此函数计算的n三阶导数tan(x)并将其评估为x = 0。

在线尝试

J，15 13字节

还有内置 t:，其计算所述Ñ ^次的指数生成函数的系数黄褐色（X） 。

(1&o.%2&o.)t:

感谢@ Leaky Nun让我想起J中的Taylor系列副词，该副词节省了2个字节。

替代15个字节。

3 :'(3&o.d.y)0'

另一种方法是计算第n ^个 tan（x）导数并在x = 0时对其求值。

注意：在 J中，导数函数使用的内存量d.随着n的增加而快速增长超过10时。

用法

   f =: (1&o.%2&o.)t:
   f 7
272
   (,.f"0) i. 11  NB. Additional commands are just for formatting the output
 0    0
 1    1
 2    0
 3    2
 4    0
 5   16
 6    0
 7  272
 8    0
 9 7936
10    0

说明

(1&o.%2&o.)t:  Input: n
(         )    Define a monad (one argument function), call the input y
 1&o.          Get the trig function sin(x) and call it on y
      2&o.     Get the trig function cos(x) and call it on y
     %         Divide sin(y) by cos(y) to get tan(y)
           t:  Get the nth coefficient of the exponential generating series
               for that function and return

3 :'(3&o.d.y)0'  Input: n
3 :'          '  Define a monad (one argument function) with input y
     3&o.        Get the trig function tan(x)
           y     The input n
         d.      Get the nth derivative of tan(x)
             0   Evaluate the nth derivative at x = 0 and return

朱莉娅39 39字节

!n=(spdiagm((0:n,1:n+1),(1,-1))^n)[2]

感谢Dennis，节省了2个字节。

不是最短的Julia解决方案（请参阅Dennis的解决方案），而是纯粹使用矩阵形式的导数逻辑来完成的。

基本上，它使用tan（x）的导数为1 + tan（x）^ 2的事实。因此，由于tan（x）的任意幂的导数（例如tan（x）^ k）为k tan（x）^（k-1）tan（x）'= k tan（x）^（k-1） + k tan（x）^（k + 1），我们可以对具有适当值的矩阵使用简单的矩阵幂来生成展开，第二行或第二列（取决于构造）保存tan（x ）本身。

因此，我们只需要在结果表达式中找到常量，这就是相应行或列中的第一个值。

JavaScript（ES6）， 127个 45字节

f=(n,m=0)=>n?++m*f(--n,m--)+--m*f(n,m):m-1?0:1

@xnor解决方案的端口。

Haskell，95 93字节

p=product
f n=sum[(-1)^(n`div`2+j+1)*j^n*p[k-j+1..n+1]`div`p[1..n+1-k+j]|k<-[1..n],j<-[0..k]]

它基本上是通用公式的实现，并进行了一些小的优化。

带符号工具箱的MATLAB，84字节

n=input('');syms x;c=coeffs(taylor(tan(x),'Order',n+1))*factorial(n);c(end)*mod(n,2)

示例运行：

>> n=input('');syms x;c=coeffs(taylor(tan(x),'Order',n+1))*factorial(n);c(end)*mod(n,2)
7
ans =
272

>> n=input('');syms x;c=coeffs(taylor(tan(x),'Order',n+1))*factorial(n);c(end)*mod(n,2)
8
ans =
0

>> n=input('');syms x;c=coeffs(taylor(tan(x),'Order',n+1))*factorial(n);c(end)*mod(n,2)
9
ans =
7936

哈斯克尔（字节太多）

仅使用列表上的操作和Raymond Manzoni的结果：

c n = last $ map numerator $ zipWith (*) (scanl (*) (1) [2,3..]) (intersperse 0 $ foldr (.) id (replicate n (\xs->(xs ++ [(1%(1+2*length xs)) * (sum (zipWith (*) xs (reverse xs)))]))) [1])

不幸的是，n由于使用Int值，该值对于适度的值会溢出。我将尝试使用Integer值来解决问题。在此之前，欢迎提出建议。

公理，46字节

f(n:NNI):NNI==(n=0=>0;eval(D(tan(x),x,n),x=0))

测试和结果代码

(32) -> [[i, f(i)] for i in 0..26]
   (32)
   [[0,0], [1,1], [2,0], [3,2], [4,0], [5,16], [6,0], [7,272], [8,0], [9,7936],
    [10,0], [11,353792], [12,0], [13,22368256], [14,0], [15,1903757312],
    [16,0], [17,209865342976], [18,0], [19,29088885112832], [20,0],
    [21,4951498053124096], [22,0], [23,1015423886506852352], [24,0],
    [25,246921480190207983616], [26,0]]
                                       Type: List List NonNegativeInteger