给定一个正整数Ñ和若干一个，所述Ñ个迭代幂次的一个被定义为一个 ^（一个 ^（一个 ^（... ^ 一））），其中^表示幂运算（或功率）和表达式包含数一正好ñ倍。

换句话说，四方是右缔合的迭代指数。对于n = 4和a = 1.6，四边形为1.6 ^（1.6 ^（1.6 ^ 1.6））≈3.5743。

相对于n的四次方的逆函数是超对数。在前面的示例中，4是3.5743与“超级基数” 1.6的超级对数。

挑战

给定一个正整数n，找到x，使n是超基数x中其自身的超对数。也就是说，找到x使得x ^（x ^（x ^（... ^ x）））（x出现n次）等于n。

规则

允许的程序或功能。

输入和输出格式像往常一样灵活。

该算法理论上应该适用于所有正整数。实际上，由于存储器，时间或数据类型的限制，输入可能被限制为最大值。但是，该代码必须100至少在不到一分钟的时间内适用于输入。

该算法理论上应能0.001精确给出结果。实际上，由于数值计算中的累积误差，输出精度可能会更差。但是，0.001对于指定的测试用例，输出必须准确。

最短的代码胜出。

测试用例

1    ->  1
3    ->  1.635078
6    ->  1.568644
10   ->  1.508498
25   ->  1.458582
50   ->  1.448504
100  ->  1.445673

参考实施

这是Matlab / Octave中的参考实现（请在Ideone尝试）。

N = 10; % input
t = .0001:.0001:2; % range of possible values: [.0001 .0002 ... 2]
r = t;
for k = 2:N
    r = t.^r; % repeated exponentiation, element-wise
end
[~, ind] = min(abs(r-N)); % index of entry of r that is closest to N
result = t(ind);
disp(result)

对于N = 10这给result = 1.5085。

以下代码使用可变精度算法检查输出精度：

N = 10;
x = 1.5085; % result to be tested for that N. Add or subtract 1e-3 to see that
            % the obtained y is farther from N
s = num2str(x); % string representation
se = s;
for n = 2:N;
    se = [s '^(' se ')']; % build string that evaluates to iterated exponentiation
end
y = vpa(se, 1000) % evaluate with variable-precision arithmetic

这给出：

• 对于x = 1.5085：y = 10.00173...
• 对于x = 1.5085 + .001：y = 10.9075
• 因为x = 1.5085 - .001它给y = 9.23248。

因此，这1.5085是一种.001精确有效的解决方案。

Dyalog APL，33 25 字节

⎕IO←0在许多系统上默认为需求。

⌈/⎕(⊢×⊣≥(*/⍴)¨)(1+⍳÷⊢)1E4

理论上计算所有整数，但实际上仅限于非常小的整数。

在线尝试APL！

Haskell，55 54 52字节

s n=[x|x<-[2,1.9999..],n>iterate(x**)1!!floor n]!!0

用法：

> s 100
1.445600000000061

感谢@nimi 1个字节！
感谢@xnor 2！

Javascript，ES6：77个字节/ ES7：57 53个字节

ES6

n=>eval("for(x=n,s='x';--x;s=`Math.pow(x,${s})`);for(x=2;eval(s)>n;)x-=.001")

ES7

**根据DanTheMan的建议使用：

n=>eval("for(x=2;eval('x**'.repeat(n)+1)>n;)x-=.001")

例

let f =
n=>eval("for(x=n,s='x';--x;s=`Math.pow(x,${s})`);for(x=2;eval(s)>n;)x-=.001")

console.log(f(25));

Mathematica，40 33字节

多亏墨菲节省了将近20％！

1//.x_:>x+.001/;Nest[x^#&,1,#]<#&

Nest[x^#&,1,n]产生x的第n个四次方。因此，Nest[x^#&,1,#]<#测试x的第（输入）四次方是否小于（输入）。我们简单地从x = 1开始并重复添加0.001，直到四边形太大为止，然后输出最后一个x值（因此，可以保证答案大于实际值，但在0.001以内）。

正如我正在慢慢学习的那样：//.x_:>y/;z或//.x_/;z:>y意思是“寻找与模板x匹配的任何东西，但只寻找测试z返回true的东西；然后按规则y对x进行操作；重复进行直到没有任何变化为止”。这里的模板x_只是“我看到的任何数字”，尽管在其他情况下它可能会受到进一步的限制。

当输入至少为45时，四分法迅速增加，以至于最后一步会引起溢出错误；但是x的值仍会更新并正确输出。将步长大小从0.001减小到0.0001可以解决输入高达112的问题，并为引导提供更精确的答案（并且仍然可以在大约四分之一秒内快速运行）。但是，这是一个额外的字节，所以请不要忘记！

原始版本：

x=1;(While[Nest[x^#&,1,#]<#,x+=.001];x)&

J，39 31 28字节

(>./@(]*[>^/@#"0)1+i.%])&1e4

基于参考实现。它仅精确到小数点后三位。

使用@Adám 解决方案中的方法节省了8个字节。

用法

用于格式化多个输入/输出的额外命令。

   f =: (>./@(]*[>^/@#"0)1+i.%])&1e4
   (,.f"0) 1 3 6 10 25 50 100
  1      0
  3  1.635
  6 1.5686
 10 1.5084
 25 1.4585
 50 1.4485
100 1.4456
   f 1000
1.4446

说明

(>./@(]*[>^/@#"0)1+i.%])&1e4  Input: n
                         1e4  The constant 10000
(                      )      Operate on n (LHS) and 10000 (RHS)
                   i.           The range [0, 10000)
                      ]         Get (RHS) 10000
                     %          Divide each in the range by 10000
                 1+             Add 1 to each
     (          )               Operate on n (LHS) and the range (RHS)
             #"0                  For each in the range, create a list of n copies
          ^/@                     Reduce each list of copies using exponentation
                                  J parses from right-to-left which makes this
                                  equivalent to the tetration
        [                         Get n
         >                        Test if each value is less than n
      ]                           Get the initial range
       *                          Multiply elementwise
 >./@                           Reduce using max and return

Python，184个字节

def s(n):
 def j(b,i):
  if i<0.1**12:
   return b
  m = b+i
  try:
   v = reduce(lambda a,b:b**a,[m]*n)
  except:
   v = n+1
  return j(m,i/2) if v<n else j(b,i/2)
 return j(1.0,0.5)

测试输出（跳过实际的打印语句）：

   s(1) 1.0
   s(3) 1.63507847464
   s(6) 1.5686440646
  s(10) 1.50849792026
  s(25) 1.45858186605
  s(50) 1.44850389566
 s(100) 1.44567285047

球拍187字节

(define(f x n)(define o 1)(for((i n))(set! o(expt x o)))o)
(define(ur y(l 0.1)(u 10))(define t(/(+ l u)2))(define o(f t y))
(cond[(<(abs(- o y)) 0.1)t][(> o y)(ur y l t)][else(ur y t u)]))

测试：

(ur 1)
(ur 3)
(ur 6)
(ur 10)
(ur 25)
(ur 50)
(ur 100)

输出：

1.028125
1.6275390625
1.5695312499999998
1.5085021972656247
1.4585809230804445
1.4485038772225378
1.4456728475168346

详细版本：

(define (f x n)
  (define out 1)
  (for((i n))
    (set! out(expt x out)))
  out)

(define (uniroot y (lower 0.1) (upper 10))
  (define trying (/ (+ lower upper) 2))
  (define out (f trying y))
  (cond
    [(<(abs(- out y)) 0.1)
     trying]
    [(> out y)
     (uniroot y lower trying)]
    [else
      (uniroot y trying upper)]))

Perl 6，42个字节

{(0,.0001…2).min:{abs $_-[**] $^r xx$_}}

（示例Matlab代码的翻译）

测试：

#! /usr/bin/env perl6
use v6.c;
use Test;

my &code = {(0,.0001…2).min:{abs $_-[**] $^r xx$_}}

my @tests = (
  1   => 1,
  3   => 1.635078,
  6   => 1.568644,
  10  => 1.508498,
  25  => 1.458582,
  50  => 1.448504,
  100 => 1.445673,
);

plan +@tests + 1;

my $start-time = now;

for @tests -> $_ ( :key($input), :value($expected) ) {
  my $result = code $input;
  is-approx $result, $expected, "$result ≅ $expected", :abs-tol(0.001)
}

my $finish-time = now;
my $total-time = $finish-time - $start-time;
cmp-ok $total-time, &[<], 60, "$total-time.fmt('%.3f') is less than a minute";

1..8
ok 1 - 1 ≅ 1
ok 2 - 1.6351 ≅ 1.635078
ok 3 - 1.5686 ≅ 1.568644
ok 4 - 1.5085 ≅ 1.508498
ok 5 - 1.4586 ≅ 1.458582
ok 6 - 1.4485 ≅ 1.448504
ok 7 - 1.4456 ≅ 1.445673
ok 8 - 53.302 seconds is less than a minute

PHP，103字节

$z=2;while($z-$a>9**-9){for($r=$s=($a+$z)/2,$i=0;++$i<$n=$argv[1];)$r=$s**$r;$r<$n?$a=$s:$z=$s;}echo$s;

公理587字节

l(a,b)==(local i;i:=1;r:=a;repeat(if i>=b then break;r:=a^r;i:=i+1);r);g(q,n)==(local r,y,y1,y2,t,v,e,d,i;n<=0 or n>1000 or q>1000 or q<0 => 0;e:=1/(10**(digits()-3));v:=0.01; d:=0.01;repeat(if l(v,n)>=q then break;v:=v+d;if v>=1 and n>25 then d:=0.001;if v>=1.4 and n>40 then d:=0.0001;if v>=1.44 and n>80 then d:=0.00001;if v>=1.445 and n>85 then d:=0.000001);if l(v-d,n)>q then y1:=0.0 else y1:=v-d;y2:=v;y:=l(v,n);i:=1;if abs(y-q)>e then repeat(t:=(y2-y1)/2.0;v:=y1+t;y:=l(v,n);i:=i+1;if i>100 then break;if t<=e then break;if y<q then y1:=v else y2:=v);if i>100 then output "#i#";v)

少打高尔夫球+数字

l(a,b)==
  local i
  i:=1;r:=a;repeat(if i>=b then break;r:=a^r;i:=i+1)
  r
g(q,n)==
 local r, y, y1,y2,t,v,e,d, i
 n<=0 or n>1000 or q>1000 or q<0 => 0  
 e:=1/(10**(digits()-3))
 v:=0.01; d:=0.01  
 repeat  --cerco dove vi e' il punto di cambiamento di segno di l(v,n)-q
    if l(v,n)>=q then break
    v:=v+d 
    if v>=1     and n>25 then d:=0.001
    if v>=1.4   and n>40 then d:=0.0001
    if v>=1.44  and n>80 then d:=0.00001
    if v>=1.445 and n>85 then d:=0.000001
 if l(v-d,n)>q then y1:=0.0
 else               y1:=v-d 
 y2:=v; y:=l(v,n); i:=1  -- applico il metodo della ricerca binaria
 if abs(y-q)>e then      -- con la variabile i di sicurezza
    repeat 
       t:=(y2-y1)/2.0; v:=y1+t; y:=l(v,n)
       i:=i+1
       if i>100 then break
       if t<=e  then break 
       if  y<q  then y1:=v
       else          y2:=v
 if i>100 then output "#i#"
 v

(3) -> [g(1,1), g(3,3), g(6,6), g(10,10), g(25,25), g(50,50), g(100,100)]
   Compiling function l with type (Float,PositiveInteger) -> Float
   Compiling function g with type (PositiveInteger,PositiveInteger) ->
      Float

   (3)
   [1.0000000000 000000001, 1.6350784746 363752387, 1.5686440646 047324687,
    1.5084979202 595960768, 1.4585818660 492876919, 1.4485038956 661040907,
    1.4456728504 738144738]
                                                             Type: List Float

普通Lisp，207个字节

(defun superlog(n)(let((a 1d0)(i 0.5))(loop until(< i 1d-12)do(let((v(or(ignore-errors(reduce #'expt(loop for q below n collect(+ a i)):from-end t))(1+ n))))(when(< v n)(setq a (+ a i)))(setq i(/ i 2)))) a))

使用reduce与:from-end t可以避免执行“逆幂运算”中间lambda（基本上(lambda (x y) (expt y x))，节省14个字节（如果删除可移动空间，则为12个字节））。

我们仍然需要处理float溢出，但是如果发生错误，则ignore-errors返回一个表单nil，因此我们可以使用它or来提供默认值。