给定正整数n，计算Mertens函数 M（n）的值，其中

和μ（ķ）是莫比乌斯函数，其中μ（ķ）= 1，如果ķ具有不同的素因子偶数，-1，如果ķ具有奇数个的不同的素因子，和0，如果首要因素是不明显。

• 这是代码高尔夫球，因此请为计算输入整数n > 0 的Mertens函数的函数或程序创建最短的代码。
• 这是OEIS序列A002321。

测试用例

n M(n)
1 1
2 0
3 -1
4 -1
5 -2
6 -1
7 -2
8 -2
9 -2
10 -1
117 -5
5525 5
7044 -25
8888 4
10000 -23

果冻，6 个字节

:Ḋ߀SC

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背景

这使用属性

从A002321开始，将导致以下递归公式。

怎么运行的

:Ḋ߀SC  Main link. Argument: n

 Ḋ      Dequeue; yield [2, ..., n].
:       Perform the integer division of n by each k in [2, ..., n].
  ߀    Recursively call the main link on each result.
    S   Sum; add the results from the recursive calls.
     C  Complement; map the sum r to 1 - r.

Mathematica，22个 20字节

感谢@miles节省了2个字节。

Tr@*MoebiusMu@*Range

说明

Range

生成一个从1输入的列表。

MoebiusMu

查找MoebiusMu每个号码

Tr

对结果求和。

Python 2，45 37字节

f=lambda n,k=2:n<k or f(n,k+1)-f(n/k)

在Ideone上进行测试。

背景

这使用属性

从A002321开始，将导致以下递归公式。

怎么运行的

我们不仅使用递归来计算商的M，而且还计算这些图像的总和。与下面的简单实现相比，这节省了8个字节。

M=lambda n:1-sum(M(n/k)for k in range(2,n+1))

当使用单个参数n调用f时，可选参数k默认为2。

如果n = 1，则n<k得出True，而f返回该值。这是我们的基本情况。

如果n> 1，则n<k最初返回False，然后or执行以下代码。f(n/k)递归计算总和的一项，并从的返回值中减去f(n,k+1)。后者递增k并递归调用f，从而迭代k的可能值。一旦n <k + 1或n = 1，f(n,k+1)将返回1，从而结束递归。

05AB1E，16 15字节

LÒvX(ygmyyÙïQ*O

说明

L        # range [1 .. n]
Ò        # list of prime factors for each in list
v        # for each prime factor list
 X(ygm   # (-1)^len(factors)
 yyÙïQ*  # multiplied by factors == (unique factors)
 O       # sum

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Brachylog，22 20字节

yb:1a+
$p#dl:_1r^|,0

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说明

yb                 The list [1, 2, …, Input]
  :1a              Apply predicate 1 (second line) to each element
     +             Sum the resulting list


    $p#d               All elements of the list of prime factors of the Input are distinct
        l:_1r^         Output = (-1)^(<length of the list of prime factors>)
|                  Or
    ,0                 Output = 0

果冻，9 个字节

RÆFỊNP€FS

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怎么运行的

RÆFỊNP€FS  Main link. Argument: n

R          Range; yield [1, ..., n].
 ÆF        Factor; decompose each integer in that range into prime-exponent pairs.
   Ị       Insignificant; yield 1 for argument 1, 0 for all others.
    N      Negative; map n to -n.
           This maps primes to 0, exponent 1 to -1, and all other exponents to 0.
     P€    Reduce the columns of the resulting 2D arrays by multiplication.
           The product of the prime values will always be 0; the product of the
           exponent values is 0 if any exponent is greater than, 1 if there is an
           even number of them, -1 is there is an odd number of them.
       FS  Flatten and sum, computing the sum of µ(k) for k in [1, ..., n].

Haskell，29 27字节

f n=1-sum(f.div n<$>[2..n])

果冻，7 个字节

Ị*%ðþÆḊ

效率不高；决定因素很难。

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背景

这使用A002321中的公式：

M（n）的是布尔矩阵的行列式甲_N×N ，其中一个_I，J是1，如果J = 1或I | j，否则为0。

怎么运行的

Ị*%ðþÆḊ  Main link. Argument: n

   ð     Combine the preceding atoms into a chain (unknown arity).
         Begin a new, dyadic chain with arguments a and b.
Ị        Insignificant; return 1 iff a = 1.
  %      Compute a % b.
 *       Compute (a == 1) ** (a % b).
         This yields 1 if a = 1, or if a ≠ 1 and a % b = 0; otherwise, it yields 0.
    þ    Table; construct the matrix A by calling the defined chain for every pair
         of integers in [1, ..., n].
     ÆḊ  Compute the determinant of the resulting matrix.

PHP，113字节

for(;$i=$argv[1]--;){for($n=$j=1;$j++<$i;)if(!($i%$j)){$i/=$j;$n++;if(!($i%$j))continue 2;}$a+=$n%2?1:-1;}echo$a;

据我所知，php缺少像质数功能之类的东西，所以这有点痛苦。有可能做得更好。

用途像：

 php -r "for(;$i=$argv[1]--;){for($n=$j=1;$j++<$i;)if(!($i%$j)){$i/=$j;$n++;if(!($i%$j))continue 2;}$a+=$n%2?1:-1;}echo$a;" 10000

拍子103字节

(λ(N)(for/sum((n(range 1 N)))(define c(length(factorize n)))(cond[(= 0 c)0][(even? c)1][(odd? c)-1])))

取消高尔夫：

(define f
  (λ(N)
    (for/sum ((n (range 1 N)))
      (define c (length (factorize n)))
      (cond
        [(= 0 c) 0]
        [(even? c) 1]
        [(odd? c) -1]))))

CJam（20字节）

qiM{_,:)(@@f/{j-}/}j

在线演示

使用OEIS中的公式

sum(k = 1..n, a([n/k])) = 1。-David W.Wilson，2012年2月27日

和CJam的备忘运算符j。

解剖

qi       e# Read stdin as an integer
M{       e# Memoise with no base cases
         e#   Memoised function: stack contains n
  _,:)(  e#   Basic manipulations to give n [2 .. n] 1
  @@f/   e#   More basic manipulations to give 1 [n/2 ... n/n]
  {j-}/  e#   For each element of the array, make a memoised recursive call and subtract
}j

JavaScript（ES6），50个字节

n=>[1,...Array(n-1)].reduce((r,_,i)=>r-f(n/++i|0))

@Dennis的Python答案的端口。

朱莉娅，26 25字节

!n=1-sum(map(!,n÷(2:n)))

在线尝试！

背景

这使用属性

从A002321开始，将导致以下递归公式。

怎么运行的

我们重新定义一元运算符！为了我们的目的。

n÷(2:n)计算所有必需的商，我们重新定义！映射到它们之上，最后从1中减去所有递归调用的总和。

不幸，

!n=1-sum(!,n÷(2:n))

之所以无效，是因为二元和会阻塞一个空集合。

!n=n<2||1-sum(!,n÷(2:n))

解决此问题，但不保存任何字节，并为输入1返回True。

C，51 50 47字节

f(n,t,u){for(t=u=1;n/++u;t-=f(n/u));return t;}

编辑：感谢@Dennis -3个字节！

Scala，53个字节

def?(n:Int,k:Int=2):Int=if(n<k)1 else?(n,k+1)- ?(n/k)

丹尼斯（Dennis）提出的答案。

我称之为method ?，它是一个不粘字母的令牌。

Pyth，12个字节

定义一个y接受的函数n。

L-1syM/LbtSb

测试套件在这里。（请注意，y此处的尾部实际上是调用声明的函数。）

其实18 17 16位元组

欢迎打高尔夫球。在线尝试！

R`;y;l0~ⁿ)π=*`MΣ

开球

         Implicit input n.
R        Push the range [1..n].
`...`M   Map the following function over the range. Variable k.
  ;        Duplicate k.
  y        Push the distinct prime factors of k. Call it dpf.
  ;        Duplicate dpf.
  l        Push len(dpf).
  0~       Push -1.
  ⁿ        Push (-1)**len(dpf).
  )        Move (-1)**len(dpf) to BOS. Stack: dpf, k, (-1)**len(dpf)
  π        Push product(dpf).
  =        Check if this product is equal to k.
            If so, then k is squarefree.
  *        Multiply (k is squarefree) * (-1)**(length).
            If k is NOT squarefree, then 0.
            Else if length is odd, then -1.
            Else if length is even, then 1.
           This function is equivalent to the Möbius function.
Σ        Sum the results of the map.
         Implicit return.

PARI / GP，24个字节

n->sum(x=1,n,moebius(x))

J，19个字节

1#.1*/@:-@~:@q:@+i.

n使用范围内的Möbius函数之和计算Mertens函数[1, n]。

用法

   f =: 1#.1*/@:-@~:@q:@+i.
   (,.f"0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 117 5525 7044 8888 10000
    1   1
    2   0
    3  _1
    4  _1
    5  _2
    6  _1
    7  _2
    8  _2
    9  _2
   10  _1
  117  _5
 5525   5
 7044 _25
 8888   4
10000 _23

说明

1#.1*/@:-@~:@q:@+i.  Input: integer n
                 i.  Range [0, 1, ..., n-1]
   1            +    Add 1 to each
             q:@     Get the prime factors of each
          ~:@        Sieve mask of each, 1s at the first occurrence
                     of a value and 0 elsewhere
        -@           Negate
    */@:             Reduce each using multiplication to get the product
1#.                  Convert that to decimal from a list of base-1 digits
                     Equivalent to getting the sum