17

的欧拉数 A(n, m)是排列的数量[1, 2, ..., n]精确地在其中m元件是比以前的元件大。这些也称为上升。例如，如果，则为n = 33！= 6个排列[1, 2, 3]

1 2 3
 < <  2 elements are greater than the previous

1 3 2
 < >  1 ...

2 1 3
 > <  1 ...

2 3 1
 < >  1 ...

3 1 2
 > <  1 ...

3 2 1
 > >  0 ...

因此A(3, m)，min 的输出[0, 1, 2, 3]将是

A(3, 0) = 1
A(3, 1) = 4
A(3, 2) = 1
A(3, 3) = 0

同样，这是OEIS序列A173018。

规则

这是代码高尔夫球，因此最短的代码获胜。
输入n将是非负整数，并且m将是range内的整数[0, 1, ..., n]。

测试用例

n   m   A(n, m)
0   0   1
1   0   1
1   1   0
2   0   1
2   1   1
2   2   0
3   0   1
3   1   4
3   2   1
3   3   0
4   0   1
4   1   11
4   2   11
4   3   1
4   4   0
5   1   26
7   4   1191
9   5   88234
10  5   1310354
10  7   47840
10  10  0
12  2   478271
15  6   311387598411
17  1   131054
20  16  1026509354985
42  42  0

— 英里
source

有n, m什么限制吗？

— Loovjo

没有限制，但是不要求您的提交能够在一定时间内完全执行测试用例，只需要具有正确的逻辑即可。最好是，我希望提交的内容最多可以处理20个值，但是我对它的性能没有要求，只能允许暴力破解解决方案最多只能解决个问题n = 10。

— 英里

输入是否可以使m> = n，n> 0？

— feersum '16

不应该，“ m是[0，1，...，n]范围内的整数”是“ ... [0，1，...，n-1]”吗？

— 乔纳森·艾伦

@feersum m如果需要，您的解决方案可以支持任何方法，但我只要求它对于0 <= m <= n和0 <= n才有效。

— 英里

9

果冻，8 字节

Œ!Z>2\Sċ

在线尝试！（花一些时间）或验证较小的测试用例。

怎么运行的

Œ!Z>2\Sċ  Main link. Arguments: n, m

Œ!        Generate the matrix of all permutations of [1, ..., n].
  Z       Zip/transpose, placing the permutations in the columns.
   >2\    Compare columns pairwise with vectorizing greater-than.
          This generates a 1 in the column for each rise in that permutation.
      S   Compute the vectorizing sum of the columns, counting the number of rises.
       ċ  Count how many times m appears in the computed counts.

— 丹尼斯
source

6

JavaScript（ES6），50 46 45字节

f=(n,m,d=n-m)=>m?d&&f(--n,m)*++m+f(n,m-2)*d:1

基于递归公式：

A(n, m) = (n - m)A(n - 1, m - 1) + (m + 1)A(n - 1, m)

测试用例

显示代码段

f=(n,m,d=n-m)=>m?d&&f(--n,m)*++m+f(n,m-2)*d:1

console.log(f( 0,  0));  // 1
console.log(f( 1,  0));  // 1
console.log(f( 1,  1));  // 0
console.log(f( 2,  0));  // 1
console.log(f( 2,  1));  // 1
console.log(f( 2,  2));  // 0
console.log(f( 3,  0));  // 1
console.log(f( 3,  1));  // 4
console.log(f( 3,  2));  // 1
console.log(f( 3,  3));  // 0
console.log(f( 4,  0));  // 1
console.log(f( 4,  1));  // 11
console.log(f( 4,  2));  // 11
console.log(f( 4,  3));  // 1
console.log(f( 4,  4));  // 0
console.log(f( 5,  1));  // 26
console.log(f( 7,  4));  // 1191
console.log(f( 9,  5));  // 88234
console.log(f(10,  5));  // 1310354
console.log(f(10,  7));  // 47840
console.log(f(10, 10));  // 0
console.log(f(12,  2));  // 478271
console.log(f(15,  6));  // 311387598411
console.log(f(17,  1));  // 131054
console.log(f(20, 16));  // 1026509354985
console.log(f(42, 42));  // 0

展开摘要

— Arnauld
source

4

MATL，10字节

:Y@!d0>s=s

在线尝试！

说明

以输入为例n=3，m=1。您可以放置一个%符号以注释掉此后的代码，从而查看中间结果。例如，该链接显示了第一步之后的堆栈。

:      % Input n implicitly. Push [1 2 ... n]
       % STACK: [1 2 ... n]
Y@     % Matrix of all permutations, one on each row
       % STACK: [1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2; 3 2 1]
!      % Transpose
       % STACK: [1 1 2 2 3 3; 2 3 1 3 1 2; 3 2 3 1 2 1]
d      % Consecutive differences along each column
       % STACK: [1 2 -1 1 -2 -1; 1 -1 2 -2 1 -1]
0>     % True for positive entries
       % STACK: [1 1 0 1 0 0; 1 0 1 0 1 0]
s      % Sum of each column
       % STACK: [2 1 1 1 1 0]
=      % Input m implicitly. Test each entry for equality with m
       % STACK: [0 1 1 1 1 0]
s      % Sum. Implicitly display
       % STACK: 4

— 路易斯·门多
source

4

CJam（21个 19字节-如果参数顺序可用，则为18个字节）

{\e!f{2ew::>1b=}1b}

这是一个匿名块（函数），它n m位于堆栈上。（如果允许将其m n放在堆栈上，则\可以保存）。它计算所有排列和过滤器，因此在线测试套件必须相当有限。

感谢Martin指出近似于filter-with-parameter。

解剖

{        e# Define a block. Stack: n m
  \      e#   Flip the stack to give m n
  e!f{   e#   Generate permutations of [0 .. n-1] and map with parameter m
    2ew  e#     Stack: m perm; generate the list of n-1 pairs of consecutive
         e#     elements of perm
    ::>  e#     Map each pair to 1 if it's a rise and 0 if it's a fall
    1b   e#     Count the falls
    =    e#     Map to 1 if there are m falls and 0 otherwise
  }
  1b     e#   Count the permutations with m falls
}

请注意，欧拉数是对称的：E(n, m) = E(n, n-m)，因此无论计数是下降还是上升都是无关紧要的。

有效：32个字节

{1a@{0\+_ee::*(;\W%ee::*W%.+}*=}

在线测试套件。

这实现了整行的重复。

{          e# Define a block. Stack: n m
  1a@      e#   Push the row for n=0: [1]; and rotate n to top of stack
  {        e#   Repeat n times:
           e#     Stack: m previous-row
    0\+_   e#     Prepend a 0 to the row and duplicate
    ee::*  e#     Multiply each element by its index
           e#     This gives A[j] = j * E(i-1, j-1)
    (;     e#     Pop the first element, so that A[j] = (j+1) * E(i-1, j)
    \W%    e#     Get the other copy of the previous row and reverse it
    ee::*  e#     Multiply each element by its index
           e#     This gives B[j] = j * E(i-1, i-1-j)
    W%     e#     Reverse again, giving B[j] = (i-j) * E(i-1, j-1)
    .+     e#     Pointwise addition
  }*
  =        e#   Extract the element at index j
}

— 彼得·泰勒
source

这是通过缩短使用地图，以避免变量：{e!f{2ew::>1b=}1e=}。还是为了好玩：{e!f{2ew::>+:-}0e=}

— Martin Ender

那真是愚蠢。第1e=一个解决方案中的可以是1b。

— Martin Ender

您可以使用自己的参数顺序

— 英里

3

Python，55 56字节

a=lambda n,m:n>=m>0and(n-m)*a(n-1,m-1)-~m*a(n-1,m)or m<1

repl.it上的所有测试

在OEIS上应用递归公式。
请注意，这+(m+1)*a(n-1,m)是打高尔夫球的-~m*a(n-1,m)。
（可能会返回布尔值来表示1或0。返回True何时n<0 and m<=0或m<0）。

— 乔纳森·艾伦
source

还有多种其他方法可以处理边缘情况。m<1 ? 1 : m==n ? 0 : formula等同地处理就足够了m%n<1 ? (m<1) : formula; 或者m<1 ? (n>=0) : formula。

— 彼得·泰勒

我明白了，只是更新感谢

— 乔纳森·艾伦

由于我们的答案非常相似，并且您的答案被首先发布（且简短），因此，我将继续删除我的答案。

— Loovjo

@Loovjo虽然有点疯狂的调整:(无论如何，你还是从我这里获得了投票！

— Jonathan Allan

3

Mathematica，59 56字节

_~f~0=1
n_~f~m_:=If[m>n,0,(n-m)f[n-1,m-1]+(m+1)f[n-1,m]]

这是一个59字节的版本，更实际地实现了该定义：

Count[Count@1/@Sign/@Differences/@Permutations@Range@#,#2]&

— 马丁·恩德
source

为什么不只f[n_,m_]:=...为49？

— 乔纳森·艾伦

@JonathanAllan我不确定我是否理解。那如何处理基本情况？

— Martin Ender

好的，已缓存了一些内容-只是在新工作表中进行了操作，但由于递归限制而失败。:)

— 乔纳森·艾伦

还有一个公式使用了46个字节Sum[Binomial[#+1,k](#2+1-k)^#(-1)^k,{k,0,#2}]&，这可能会打更多的高尔夫球

— 英里

3

Python，53个字节

t=lambda n,k:n and(n-k)*t(n-1,k-1)-~k*t(n-1,k)or k==0

从OEIS递归。True在1时输出布尔值n==k。

— 异或
source

2

MATLAB /八度，40字节

@(n,m)sum(sum(diff((perms(1:n))')>0)==m)

这是我的MATL答案的端口，采用匿名函数的形式。称为ans(7,4)。

在Ideone尝试一下。

— 路易斯·门多
source

2

GameMaker语言，62字节

这是A基于@Arnauld公式的递归脚本。

n=argument0;m=argument1;return (n-m)*A(n-1,m-1)+(m+1)*A(n-1,m)

— 添泰
source

有一阵子没看过！

— tomsmeding

1

Perl，98个字节

sub a{my($b,$c)=@_;return$c?$c>$b?0:($b-$c)*a($b-1,$c-1)+($c+1)*a($b-1,$c):1;}print a(@ARGV[0,1]);

基于与Arnauld答案相同的属性。

— 加布里埃尔·贝纳米（Gabriel Benamy）
source

1

R，72个字节

遵循OEIS逻辑的递归函数。

A=function(n,m)if(!m)1 else if(m-n)0 else(n-m)*A(n-1,m-1)+(m+1)*A(n-1,m)

事实证明，在我尝试的不同方法之间，这一挑战非常接近。例如，使用Wikipedia公式并循环求和，结果为92个字节：

function(n,m){s=0;if(!n)1 else for(k in -1:m+1)s=c(s,(-1)^k*choose(n+1,k)*(m+1-k)^n);sum(s)}

或87字节的向量化版本：

function(n,m)if(!m)1 else sum(sapply(-1:m+1,function(k)(-1)^k*choose(n+1,k)*(m+1-k)^n))

最后是蛮力解决方案（103字节），它使用permutepackage和function 生成了所有排列的矩阵allPerms。这种方法只能起作用n<8。

function(n,m){if(!m)1 else sum(apply(rbind(1:n,permute:::allPerms(n)),1,function(x)sum(diff(x)>0))==m)}

— 比利沃伯
source

1

拍框141字节

(count(λ(x)(= x m))(for/list((t(permutations(range 1(+ 1 n)))))(count
(λ(x)x)(for/list((i(sub1 n)))(>(list-ref t(+ 1 i))(list-ref t i))))))

取消高尔夫：

(define (f n m)
  (let* ((l (range 1 (add1 n)))                ; create a list till n
         (pl (permutations l))                 ; get all permutations
         (enl (for/list ((t pl))               ; check each permutation; 
                (define rl
                  (for/list ((i (sub1 n)))     ; check if an element is a 'rise'
                    (> (list-ref t (add1 i))
                       (list-ref t i))))
                (count (lambda(x)x) rl))))     ; how many numbers are 'rises'
    (count (lambda(x) (= x m)) enl)))          ; how many permutations had m rises
                                               ; i.e. Eulerian number

测试：

(f 3 0)
(f 3 1)
(f 3 2)
(f 3 3)
(f 4 2)
(f 5 1)
(f 7 4)

输出：

— 恩索
source

1

事实上，21 19个字节

该答案使用的算法类似于Dennis在Jelly答案中使用的算法。<当我数数时，原始定义数数>。最后这是等效的。欢迎打高尔夫球。在线尝试！

;R╨`;\ZdX"i>"£MΣ`Mc

开球

         Implicit input m, then n.
;        Duplicate n. Stack: n, n, m
R        Push range [1..n].
╨        Push all n-length permutations of the range.
`...`M   Map the following function over each permutation p.
  ;\       Duplicate and rotate p so that we have a list of the next elements of p.
  Z        Zip rot_p and p.
           (order of operands here means the next element is first,
            so we need to use > later)
  dX       Remove the last pair as we don't compare the last and first elements of the list.
  "i>"£    Create a function that will flatten a list and check for a rise.
  M        Map that function over all the pairs.
  Σ        Count how many rises there are in each permutation.
c        Using the result of the map and the remaining m, 
          count how many permutations have m rises.
         Implicit return.

— 夏洛克9
source

1

迅捷3 3，8288 字节数

func A(_ n:Int,_ m:Int)->Int{return m<1 ?1:n>m ?(n-m)*A(n-1,m-1)+(m+1)*A(n-1,m):0}

绝对不适合高尔夫的相同递归公式

— 阿波罗尼亚人
source

0

J，28个字节

+/@((!>:)~*(^~#\.)*_1^])i.,]

使用公式

用法

   f =: +/@((!>:)~*(^~#\.)*_1^])i.,]
   0 f 0
1
   1 f 0
1
   1 f 1
0
   (f"+i.,]) 6
1 57 302 302 57 1 0
   20x f 16x
1026509354985

说明

+/@((!>:)~*(^~#\.)*_1^])i.,]  Input: n (LHS), m (RHS)
                        i.    Range [0, 1, ..., m-1]
                           ]  Get m
                          ,   Join to get k = [0, 1, ..., m]
                      ]       Get k
                   _1^        Raise -1 to each in k
              #\.               Get the length of each suffix of k
                                Forms the range [m+1, m, ..., 2, 1]
            ^~                  Raise each value by n
                  *           Multiply elementwise with (-1)^k
    (   )~                      Commute operators
      >:                        Increment n
     !                          Binomial coefficient, C(n+1, k)
          *                   Multiply elementwise
+/@                           Reduce by addition to get the sum and return

— 英里
source

计算欧拉数

规则

测试用例

果冻，8 字节

怎么运行的

JavaScript（ES6），50 46 45字节

测试用例

MATL，10字节

说明

CJam（21个 19字节-如果参数顺序可用，则为18个字节）

解剖

有效：32个字节

Python，55 56字节

Mathematica，59 56字节

Python，53个字节

MATLAB /八度，40字节

GameMaker语言，62字节

Perl，98个字节

R，72个字节

拍框141字节

事实上，21 19个字节

迅捷3 3，8288 字节数

J，28个字节

用法

说明