我的NP中的缺陷= CoNP证明？

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对于NP = CoNP，我有一个非常简单的“证明”，我认为我在某处做错了什么，但我找不到错误所在。有人可以帮我吗？

设A是NP中的问题，设M是A的决策者。设B是补数，即B在CoNP中。由于M是决定者，因此您也可以用它来决定B（只需翻转答案即可）。这不是说我们用相同的M解决NP和CoNP问题吗？

更具体地说。

假设A是一些NP完全问题，而让M是A的决定者。请考虑CoNP中的任何问题B。我们考虑它的补码不是B，它在NP中，然后将多项式简化为A。然后运行决策器M并翻转答案。因此，我们获得了B的决策者。这意味着B也位于NP中。

我可以知道我的推理有什么问题吗？

— 傻瓜
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正如下面的答案详细解释的那样，您没有正确使用“决定者”概念。coNP中的问题不是那些带有“ NP决策者”的问题。在NP问题中，在接受输入（“存在确定性选择导致接受”）和拒绝输入（“所有不确定性选择导致拒绝”）之间存在重要的不对称性。您的论点以NP拒绝字符串为前提（“存在导致拒绝的不确定性选择”），这就是缺陷。换句话说，您混淆了量词。

— Andrej Bauer 2013年

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您可能会发现此问题的答案很有启发性。

— 拉斐尔

@Raphael令人惊讶的是，这个问题根本没有提到合作NP！（尽管我同意这对于不确定这种事情的人来说是有用的读物。）

— David Richerby，

@DavidRicherby因为答案基本上是“使用NP 的定义而不是有缺陷的直觉”，所以我希望如此！

— 拉斐尔

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经验法则：“翻转最终状态”构造仅适用于确定性模型。研究NFA如何理解失败的原因。另请参阅此处和此处。

— 拉斐尔

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该证明中可能存在两个错误：

当您说“决定者”时-是确定性TM。在这种情况下，最好的翻译（据我们所知）从NP机于确定性的机器可能会产生一台机器，在指数时间的运行，所以补充你将有补决胜局在指数时间，这证明后（或，一些优化后，）。 $co-NP\subseteq EXP$ $co-NP\subseteq PSPACE$
当您说“决定者”时，您的意思是不确定的TM。在这种情况下，翻转答案不一定会补充语言。的确，翻转机器的语言将是所有在上存在的拒绝词的单词。 $M$ $w$

— 鲨鱼
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我不确定为什么这么重要。我对决策者的定义是，如果输入在L中，则我接受；如果输入不在L中，则我拒绝。该决策者可以是确定性的或不确定性的。但是，我说L在NP中，因此，如果我使用不确定的TM，那么我将花费多项式时间。另外，我想知道为什么翻转位并不一定能补充语言。据我所知CoNP = {L | 不是L \ in NP}。因此，如果我将其翻转一下，我应该得到答案吗？

让

。考虑一个不确定的TM，它的工作方式如下-在一次运行中，它始终输出“拒绝”。在其它运行时，它识别出

在多项式时间（可能的，因为

）。试想，如果你翻转位会发生什么-进行拒绝的运行变得接受每个输入，所以可补机识别

- 这是不是除非补

。我建议您仔细检查不确定性的定义，以充分理解这一点。

L \in N P

$L\in NP$

L

$L$

L \in N P

$L\in NP$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

L = \emptyset

$L=\emptyset$

— Shaull

我并不是说我将每条计算路径都弄糟了。我的意思是，如果我的TM接受，则意味着存在一条达到接受状态的计算路径。这意味着L在NP中，这意味着补体在coNP中。如果我的TM拒绝，则意味着每条计算路径都被拒绝。这意味着补体在NP中，这意味着L在CoNP中。

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@simpleton：您知道NTM不能一次访问所有路径，只能访问一个路径吗？您认为是从外部确定性地分析NTM行为的人。

— frafl 2013年

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我认为，OP可以通过更仔细地查找NP的定义而受益。

— MCH

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这是查看Shaull关于“决策者”的观点的另一种方式。

一个问题是在NP当且仅当有一个算法，使得 $V: \{0,1\}^n \times \{0,1\}^{\mathrm{poly}(n)} \to \{0,1\}$

每YES例如，有一个证书，使得 ; 和 $x \in \{0,1\}^n$ $p \in \{0,1\}^{\mathrm{poly}(n)}$ $V(x,p) = 1$
每NO例如，我们有对于所有。 $x \in \{0,1\}^n$ $V(x,p) = 0$ $p \in \{0,1\}^{\mathrm{poly}(n)}$

这些通常被描述为NP验证算法的完整性和健全性条件：“完整性”条件表明每个 YES实例都有一个证书，而“健全性”条件表明该算法永远不会被NO实例欺骗。对于coNP，这是另一回事：存在一种验证程序算法，该算法将为任何NO实例接受至少一个证书，但永远不会被YES实例欺骗。

如果你想显示NP ⊆ CONP，你必须证明每一个NP问题有CONP型校验工具，它可以证明没有实例，而不是YES实例。您无法使用不确定的图灵机来做到这一点：例如，我们不知道如何有效地将SAT实例彼此映射，从而将所有无法满足的公式映射到可以满足要求的公式，反之亦然。（例如，仅对公式的输出求反是不够的：当我们需要一个不满足要求的公式时，可满足但不能重言式的公式只会映射到可以满足但不能重言式的另一个公式。）我们完全知道没有办法“愚弄”一个不确定的机器来检测任何东西，例如其所有路径都是拒绝路径。

您可能会问：“不确定的图灵机是否知道它会得到什么结果？” 答案是否定的，不是。非确定性机器的工作无法使它一次访问不止一个计算路径的任何信息：您可能会认为它在并行的许多路径中工作，但是在每条路径中它仅知道该一条路径。如果您试图使其具备“实现”某种解决方案的能力，那么您所描述的是一台具有 NP oracle的机器，它比简单的不确定性Turing机器更强大（可能！）。

例如，如果你装备一个（确定性）图灵机与NP预言，然后可以在该机器上多项式时间内解决的问题被称为，这通常写作。“ oracle”允许机器简单地在一个步骤中接收到NP完全问题的答案，因此显然包含P；并且因为您可以否定答案，所以它显然还包含coNP。但是我们不知道反向遏制是否成立，正是因为我们不知道如何诱使不确定的图灵机检测到没有答案。 $\Delta_2^{\mathrm P}$ $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$
更重要的是，如果你给一个不确定的图灵机来一个实现有关问题的结果的能力NP的问题，这是机器可以在多项式时间解决被称为，或，这人们普遍认为它比类严格更大。它也同时包含NP和coNP，但是像NP一样，它不以补码形式封闭：不确定的oracle机器也许能够知道NP中的问题何时出现。 $\Sigma_2^{\mathrm P}$ $\mathsf{NP}^{\mathsf{NP}}$ $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ 由于使用了oracle，没有答案，但是它仍然会被限制在自己（非常强大）的计算分支之一内运行，因此它无法判断其所有计算分支是否都被拒绝。

如果继续为机器提供解决，等问题的功能更强大的预言机，那么最终将定义多项式层次结构的类，这些类被认为彼此之间是完全不同的。第一层起。 $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}^{\mathsf{NP}}$

因此，没有，没有机器（确定性或其他）可以简单地“确定”问题是有效的YES或NO实例，除非我们使用oracle。但是即使有了这样的预言，我们最终还是获得了一台比NP或coNP 更强大（可能）的机器，而不是表明它们相等的机器。

— 尼尔·德·波德拉普（Niel de Beaudrap）
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嗨，谢谢您和Shauli的评论。您是说NTM可以在多时制中识别NP语言，但不能在多时制中确定NP语言吗？我想这就是我说我有NP问题的决定者时所假设的。

— simpleton，2013年

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P^{N P}

$P^{NP}$

N P \subset P^{N P}

$NP \subset P^{NP}$

C o N P \subset P^{N P}

$CoNP \subset P^{NP}$

U N S A T \in N P

$UNSAT \in NP$

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NP硬度定义为多减一，而不是预言降。

— Yuval Filmus 2013年

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您的推理暗示RE = coRE，但这是错误的。您可以尝试找出一个证明，然后查看减少失败的地方。

$\{ x : P \text{ halts on input } x \}$ $\{ x : (x,w) \in L' \text{ for some } w \}$ $L'$

$L = \{ x : p \text{ halts on input } x \}$ $L' = \{ (x,w) : p \text{ halts on input } x \text{ in } w \text{ steps} \}$ $L'$ $L = \{ x : (x,w) \in L' \text{ for some } w \}$

$L = \{ x : (x,w) \in L' \text{ for some } w \}$ $L'$ $P(x,w)$ $Q(x)$ $w$ $P(x,w)$ $w$ $P(x,w)$ $w$ $Q$ $L = \{ x : Q \text{ halts on input } x \}$

$L = \{(P,x) : P \text{ halts on input x}\}$ $P$ $x$ $H$ $H(P,x)$ $(P,x) \notin L$ $G$ $G(x)=H(x,x)$ $(G,G) \in L$ $G$ $G$ $H$ $(G,G)$ $(G,G) \notin L$ $(G,G) \notin L$ $G$ $G$ $H$ $(G,G)$ $(G,G) \in L$ $H$

$H$

— Yuval Filmus
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2

这是TL; DR版本；对于类似问题，我也发布了更长的答案。

$A$ $M$ $x\in A$ $M$ $x$ $M$ $x$ 。如果您只是反转接受和拒绝状态，您将从具有某些接受路径和某些拒绝路径的机器转到具有某些拒绝路径和一些接受路径的机器。换句话说，它仍然具有接受路径，因此它仍然接受。通常，翻转不确定性机器的接受和拒绝状态不会导致您接受补语。

正是这种不对称性定义的（接受如果任何路径接受;拒绝仅当所有路径拒绝），使NP VS 共NP问题困难。

— 大卫·里希比
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我实际上同意您的不确定性机器M可以确定给定输入字符串是否在B中。但是，它“决定”与确定给定输入字符串是否在A中的方式略有不同。在后一种情况下，它通过（不确定）找到接受状态。在前一种情况下，它是通过找不到任何接受状态来实现的。为什么这种差异很重要？让我们来看看：

当询问M“字符串是语言A吗？”

M达到接受状态。您可以证明这一点（例如，参见Sipser书中的定理7.20）意味着存在确定性机器，该机器可以验证字符串在多项式时间内是否在A中

当问M“字符串是语言B吗？”

M在其不确定性计算的所有分支上达到拒绝状态。如果考虑上述验证者证明的工作原理，您会发现在这种情况下无法实现。这大概是因为验证者将M通过其状态空间的路径用作“证明”。在这种情况下，没有这样的路径。

结论：

如果您认为某语言的多项式时间确定性检验器的存在是NP语言的定义（应该如此），则M的存在并不能证明B在NP中。

— 亚历克斯
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M

$M$

B

$B$

B

$B$

M

$M$