无星级语言与常规语言

我想知道，由于本身是无星星的语言，是否存在不是非星星的常规语言？你能举个例子吗？$a^*$

（摘自Wikipdia） Lawson将无星语言定义为：

如果可以用由字母，空集符号，所有布尔运算符（包括补码）和级联构造而成的正则表达式来描述常规语言，则该常规语言是无星形的，但没有Kleene星形。

这是没有星星的证明：$a^*$

$\emptyset$⟹ Σ * = ˉ ∅ ⟹ 甲＆SubsetEqual; Σ Σ *甲Σ * ⟹ 甲＆SubsetEqual; Σ 甲* = ＆OverBar; Σ *（Σ ∖ 甲）Σ *是没有星星的是没有星星的 如果那么是没有星星的 如果然后是无星号的$\Longrightarrow$
$\Sigma^*=\bar{\emptyset}$$\Longrightarrow$
$A\subseteq\Sigma$$\Sigma^*A\Sigma^*$$\Longrightarrow$
$A\subseteq\Sigma$$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$

在最后一行中，我们有，因为任何不是形式的单词都在包含一个字母反之亦然。$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$$A^*$$\Sigma \setminus A$

常规语言是可以用弱一元二阶逻辑（WMSO）[1] 描述的语言。

无星星的语言是可以用$<$（FO [<]）[2] 的一阶逻辑描述的语言。

这两种逻辑功能不一样。可定义WMSO但不能定义FO [<]的语言的一个示例是（这显然是常规³）；可以使用Ehrenfeucht-Fraissé游戏shown来显示。$(aa)^*$

1. 比奇（Büchi）的弱二阶算术和有限自动机（1960）
2. McNaughton和Papert（1971）的无反自动机

3. 甲WMSO-公式是$(aa)^*$

   $\ \begin{align} \bigl[ \forall x. P_a(x)\bigr] \land \Bigl[ \exists x. P_a(x) \to \bigl[ \exists X. X(0) &\land [\forall x,y. X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to \lnot X(y)] \\ &\land [\forall x,y. \lnot X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to X(y)] \\ &\land [\forall x. \operatorname{last}(x) \to \lnot X(x)] \bigr] \Bigr] \;. \end{align}$

   （如果单词不为空，则是所有偶数索引的集合。）$X$

4. 另请参阅此处。

Schützenberger（1965）给出了无星星语言的代数表征：当且仅当其句法半形体为非周期性时，常规语言才是无星星的。与逻辑特征相反（无星形= FO [<]），此代数表征提供了一种算法，可确定给定的常规语言是否为无星形（常规语言可以通过有限自动机，正则表达式或常规语法）。然后，使用逻辑表征（由于McNaughton和Papert），可以确定以下问题：给定WMSO公式，是否存在描述同一语言的FO公式？

M.-P. Schützenberger，关于仅具有琐碎子群的有限类半群，Information and Control 8（1965），190-194。

R.〜McNaughton和S.〜Papert，无反自动机，麻省理工学院出版社，马萨诸塞州剑桥，伦敦，1971年。

Schützenberger定理的完整证明可以在各种教科书或调查论文中找到。有关相应算法的基本介绍（无证明），请参见

J.-É. Pin，有限的半群和可识别的语言：北约高级研究学院的半群，形式语言和群，J。Fountain（编），1-32，Kluwer学术出版商，（1995年）的简介。

无星星的语言由正则表达式描述，包括连接，互补，并集，交集，但没有Kleene-star。

由于常规语言在所有这些操作下都是封闭的（其中补全是关键点），因此每种无星语言也是常规的。

也许您是说相反的意思？所有常规语言是否都没有星级？后者的答案是否定的。有关详细信息，请参见本文。

一个简单的分离示例是（aa）*。更复杂：所有具有偶数（或奇数）奇偶校验的二进制字符串。