所有整数线性规划问题都是NP-Hard吗？

据我了解，分配问题在P中，因为匈牙利算法可以在多项式时间-O（n ³）中解决它。我也知道分配问题是整数线性规划问题，但是Wikipedia页面指出这是NP-Hard。对我来说，这意味着分配问题在NP-Hard中。

但是可以肯定，分配问题不能同时存在于P和NP-Hard中，否则P等于NP吗？维基百科页面是否仅表示解决所有ILP问题的通用算法是NP-Hard？其他一些资料指出，ILP是NP-Hard，所以这确实使我对一般的复杂性类的理解感到困惑。

如果问题是NP-Hard，则意味着存在该问题的一类实例，即NP-Hard。其他特定类别的实例完全可以在多项式时间内求解。

例如，考虑找到图的3色的问题。这是一个众所周知的NP-Hard问题。现在想象一下，它的实例仅限于树等图形。显然，您可以轻松地在多项式时间内找到树的3色（实际上，您还可以找到2色）。

考虑一下决策问题。证明决策问题的难度的一种方法是，从另一个已知为NP-Hard的问题Q设计多项式（Karp）约简。在此简化中，您表明存在一个函数f，该函数f将问题Q的每个实例q映射到问题P的实例，使得： q是Q的yes实例$P$$Q$$f$$q$$Q$$P$$q$是 P的yes实例。这意味着求解 f （q ）必须“至少与求解 q本身一样困难”。$Q \iff f(q)$$P$$f(q)$$q$

请注意，的图像不必等于P的实例集。因此，将问题P限制在实例的某些子集上并不困难是完全可能的。$f$$P$$P$

返回您的原始问题：

• 可以在多项式时间内解决分配问题，即，可以在多项式时间内计算分配问题的每个实例的解决方案。
• ILP是NP-Hard：通常，很难计算ILP问题的解决方案，即，存在一些ILP实例很困难的情况。
• ILP的某些特定实例可以在多项式时间内求解。

不，特殊情况可能更容易。

考虑这个IP，例如，给定$a_i \geq 0$为$i \in [1..n]$：

$\qquad\displaystyle \min \sum_{i=1}^n x_ia_i$

圣 $\quad\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \geq 1$
和X我∈Ñ用于我∈[1 ..Ñ]。$\ \displaystyle x_i \in \mathbb{N}$$i \in [1..n]$

它发现中最小的$a_1, \dots, a_n$（即对于其，不可避免地，$x_i=1$在最优解）。找出$n$个数的最小值显然是一个多项式问题。

您可以将多项式可解决的问题建模为IP。这并不意味着问题是NP难题。这仅表示没有已知的多项式算法可以解决您的问题的IP模型（除非P = NP）。

因此，正如您所建议的，分配问题在P中，但是您的IP模型是NP难的。

不，有一种特殊的整数程序，如果约束矩阵为TUM（完全单模矩阵），则可以将其放宽为线性程序，可以在多项式时间内求解。

分配问题不是ILP，而是LP问题，因此不是NP-hard。