NFA的等效DFA达到最大大小的条件是什么？

我们知道DFA在表达能力上等同于NFA。还有一种已知算法的NFA转换成有限自动机（可惜我现在知道算法的发明者），在最坏的情况下为我们提供了 $2^S$ 状态，如果我们的NFA有 $S$ 的状态。

我的问题是：什么决定最坏的情况？

这是模棱两可的情况下算法的转录：

令为NFA。我们构建了一个DFA ，其中 $A = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $A' = (Q',\Sigma,\delta',q'_0,F')$

， $Q' = \mathcal{P}(Q)$
， $F' = \{S \in Q' | F \cap S \neq \emptyset \}$
，和 $\delta'(S,a) =\bigcup_{s \in S} (\delta(s,a) \cup \hat \delta(s,\varepsilon))$
， $q'_0 = \{q_0\} \cup \hat \delta(q_0, \varepsilon)$

其中是所述扩展过渡函数。 $\hat\delta$ $A$

— 丹尼尔
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如评论所述，您可以通过要求DFA的“最小” NFA来解决此问题（一个未解决的问题）。一直认为这个问题以各种方式与P =？NP问题密切相关，并且有一些类似的表述表明了这一点。相似之处在于，您询问的是“可压缩”与“不可压缩” DFA，其中“不可压缩”是最坏的情况，因此最小NFA几乎等于DFA的大小。有可能是喜欢，有的定理“最有限自动机，随意服食，是不可压缩的[成的NFA]”，因为在信息论重新柯尔莫哥洛夫的字符串等复杂的三卤甲烷相似

— VZN

Answers:

您引用的算法称为Powerset构造，该算法最初由Michael Rabin和Dana Scott于1959年发布。

如标题所述，要回答您的问题，常规语言没有最大的 DFA，因为您始终可以采用DFA并根据需要添加任意数量的状态，并且可以在它们之间进行转换，而在原始状态之一之间不进行转换和其中之一。因此，新的国家将无法从初始状态可达，所以在自动机接受的语言将不会改变（因为将保持不变，为所有）。 $q_0$ $\hat\delta(q_0,w)$ $w\in\Sigma^*$

这就是说，它很清楚，有可能是在NFA没有条件及其等价的DFA是最大的，因为没有独特的等价的DFA。相反，最小 DFA在同构之前是唯一的。

由NFA接受了一个语言的一个典型的例子状态与等价的DFA 状态是甲NFA用于是 $n+1$ $2^n$

L = {w \in {0, 1}^{*} : | w | \geq n and the n -th symbol from the last one is 1} .

$L=\{w\in\{0,1\}^*:|w|\geq n\text{ and the $n$-th symbol from the last one is 1}\}.$

L

$L$

，用

，

和

对于

A = ⟨ Q, {0, 1}, δ, q_{0}, {q_{n + 1}} ⟩

$A=\langle Q,\{0,1\},\delta,q_0,\{q_{n+1}\}\rangle$

δ (q_{0}, 0) = {q_{0}}

$\delta(q_0,0)=\{q_0\}$

δ (q_{0}, 1) = {q_{0}, q_{1}}

$\delta(q_0,1)=\{q_0,q_1\}$

δ (q_{i}, 0) = δ (q_{i}, 1) = {q_{i + 1}}

$\delta(q_i,0)=\delta(q_i,1)=\{q_{i+1}\}$

。将powerset构造应用于此NFA所产生的DFA将具有

个状态，因为您需要将长度为

所有

单词表示为

中一个单词的后缀。

i \in {1, \dots, n}

$i\in\{1,\ldots,n\}$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

L

$L$

— 亚诺玛
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顺便说一句，如果希望大括号出现在显示数学模式下，请使用\\ {和\\}。

— Zach Langley 2012年

@ZachLangley我已经尝试过了，它不起作用:-(

— Janoma 2012年

在预览中似乎对我有用。不过，我无法提交修改，因为我只添加了四个字符，最小字符是六个。您正在使用两个反斜杠，但是没有用？

— Zach Langley 2012年

@ZachLangley现在可以工作了，但是有两件事：第一，当我第一次发布答案时它没有工作。第二，我认为这与cstheory中LaTeX渲染的行为不一致，但是我可能是错的。

— Janoma'3

产生的DFA最少吗？您能否谈谈如何证明它很小？

— user834 2012年

$2^{s}$ $\{a, b\}$ $a$ $b$ $a$ $b$ $\lambda$ $a$ $b$ $ab$ $\{q_{1}\}$ $\{q_{2}\}$ $\{\}$ $\{q_{1}, q_{2}\}$

— 帕特里克87
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同意，但“是否有办法进入NFA中的每个可能的状态子集”的问题是不平凡的，值得进一步研究。……

— vzn 2012年

-1

我认为这是知识前沿的问题，即基本上是研究问题。通过快速的Google搜索，它似乎大部分都是开放的。同样，多年来，我一直认为它很重要，并且与复杂性理论的下限有关。您没有直接提及统计分析，而是您的问题所隐含的含义。这是有关DFA / NFA的统计研究的两个示例，它们相似，以显示针对此类问题的一般方法。似乎对此类问题的基础实证研究似乎仍未开发。诚然，第二个问题与您的问题没有直接关系，但这是我可以找到的与当前研究最接近的问题。

$x$

该度量将与诸如边缘密度等的图论度量相关。可能存在一些非常重要的图论度量或度量混合来估计“爆炸”，但对我而言并不立即显而易见。我可能会建议像图形着色指标或集团指标。然后针对两组“爆炸”与“未爆炸”测试指标。

到目前为止，您对问题的其他回答仅给出了“爆炸”的示例（对于案例研究很有用），但未解决一般指标的关键问题。

SAT过渡点研究是研究成功开发的经验研究计划的另一个领域。这已经与物理学和热力学概念建立了非常深的联系。在我看来，类似的概念在这里适用。例如，一个人可能会找到类似的过渡点类型指标；可能是边缘密度等。请注意与Kolmogorov可压缩性理论相似。

我还推测，“爆破”与未爆破的NFA在某种程度上类似于NP完全问题的“硬”与“易”实例。

研究此问题的另一种方法是制定NFA最小化问题。也就是说，给定了DFA，找到最小的NFA，最后一次听说（很多年前）仍然是一个未解决的问题。

[1] 关于自动机最小化算法的性能 Marco Almeida，Nelma Moreira，RogérioReis

[2] 自动识别字词：一种统计方法 Cristian S. Calude，CezarCâmpeanu，Monica Dumitrescu

— z
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