依赖类型理论中的宇宙

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我正在Homotopy类型理论在线书中阅读有关依赖类型理论的内容。

在“ 类型论”一章的第1.3 节中，它介绍了宇宙层次的概念： $\mathcal{U}_0 : \mathcal{U}_1 : \mathcal{U}_2 : \cdots$ ，其中

每个宇宙 $\mathcal{U}_i$ 是下一个宇宙的元素 $\mathcal{U}_{i+1}$ 。此外，我们假设我们的宇宙是累积的，即，所述的所有元件 $i^{\mathrm{th}}$ 宇宙也在的元件 $(i+1)^{\mathrm{th}}$ 宇宙。

但是，当我看一下附录A中各种类型的构成规则时，乍一看，如果有一个Universe出现在柱上方，则该Universe出现在下方。例如，对于联产品类型形成规则：

\frac{Γ ⊢ 一个 ： ü_{一世} Γ ⊢ 乙 ： ü 一世}{Γ ⊢ 一个 + 乙 ： ü_{一世}} （ + -- F Ø [R 中号 ）

$\dfrac{\Gamma \vdash A : \mathcal{U}_i \quad \Gamma \vdash B : \mathcal{U}i}{\Gamma \vdash A + B : \mathcal{U}_i}(+\mbox{-}FORM)$

所以我的问题是为什么必须要有层次结构？在什么情况下，您需要从一个Universe跳到更高的层次结构？这是真的不明显，我怎么给定的任意组合，你可以结束了一个类型是不是在。更详细地：在附录A.2.4，A.2.5，A.2.6，A.2.7，A.2.8，A.2.9，A.2.10，A.3.2的部分中的形成规则，无论提在前提和判断，或仅在判断中。 $A_m: \mathcal{U}_i$ $B$ $\mathcal{U}_i$ $\mathcal{U}_i$

该书还暗示了一种正式的方法来分配Universe：

如果对某个参数是否正确有疑问，检查该参数的方法是尝试始终为其中出现的所有Universe分配级别。

一致分配级别的过程是什么？

会导致罗素悖论 $\mathcal{U}:\mathcal{U}$ 。书中（第24页）明确提到了避免罗素悖论。它还进入第54、55页的更多详细信息，该页面使用“罗素风格的宇宙”而不是“塔斯基风格的宇宙”。因此，在非常高的水平上，我认为该理论希望避免这种悖论。不幸的是，我没有直接了解这一点的背景。我在这个问题中所追求的，实际上只是通过了解而不是某些事例（对于来摸索表面，也许还有任何其他方面可以使我了解层次结构的工作方式。 $\mathcal{U}_j$ $\mathcal{U}_i$ $j > i$

type-theory homotopy-type-theory dependent-types

— 休伊
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@huynhjl避免悖论是不必要的，例如ZF集合论和Quine的NF都不是，两个替代的数学基础都使用它们。宇宙是避免悖论（或者我们希望如此）的便捷方法，同时又具有构造非常有表现力的类型的能力。

— Martin Berger

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在什么情况下我们需要从一个宇宙跳到更高层次的一个问题是一个很好的问题。具有层次结构和爬坡的能力很重要。要将Universe视为类型或类型的一部分时，需要跳级。例如，要定义（非依赖）类型函数，必须显示在Universe中。但这不能是或某些较小的宇宙。那么我们该怎么办？为了解决这个问题（不使用不健全的），我们需要跳一个宇宙。使我们能够进行跳跃的规则是

一个 \to ü_{一世}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

U_{i}

$\mathcal{U}_i$

U_{i} : U_{i}

$\mathcal{U}_i : \mathcal{U}_i$

U

$\mathcal{U}$ -Intro

在附录A.2.3给出。宇宙层次结构的重点是我们可以做到这一点。这可以看作是使宇宙包含自身的安全近似值。

\frac{⊢ Γ ： C Ť X}{Γ ⊢ ü_{一世} ： ü_{一世 + 1个}} ，

$\frac{\vdash \Gamma : ctx}{\Gamma \vdash \mathcal{U}_i : \mathcal{U}_{i+1}},$

— 马丁·伯格
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我将略微修正马丁的答案解释，其中cumulativity进来（这表示，该规则和继承权）。假设我们有，我们想给一个类型。用于形成规则是这样的： $X : \mathcal{U}_i$ $i \leq j$ $X : \mathcal{U}_j$ $A : \mathcal{U}_{42}$ $A \to \mathcal{U}_{99}$ $\to$ （如果是一个速记那么上面的规则可以从形成规则得出，但我们对此并不担心。）为了使用此规则，参与函数类型形成的两种类型必须在同一Universe中。在我们的例子，我们有在和中。因此，我们首先使用累积性来推导

\frac{Γ ⊢ X ： ü_{一世} Γ ⊢ ÿ ： ü_{一世}}{Γ ⊢ （ X \to ÿ ） ： ü_{一世}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_i}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_i}$

X \to Y

$X \to Y$

Π_{x : X} Y

$\Pi_{x : X} Y$

Π

$\Pi$

A

$A$

U_{42}

$\mathcal{U}_{42}$

U_{99}

$\mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

A : U_{100}

$A : \mathcal{U}_{100}$ 同样，然后继续显示

的类型为

。

A \to U_{99}

$A \to \mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

我们可以摆脱累积性，但是规则变得更加复杂。例如，地层的会读 $\to$ 或

\frac{Γ ⊢ X ： ü_{一世} Γ ⊢ ÿ ： ü_{Ĵ}}{Γ ⊢ （ X \to ÿ ） ： ü_{最大值 （ 一世 ， Ĵ ）}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_{\max(i,j)}}$

\frac{Γ ⊢ X ： ü_{一世} Γ ⊢ ÿ ： ü_{Ĵ} 一世 \leq ķ Ĵ \leq ķ}{Γ ⊢ （ X \to ÿ ） ： ü_{ķ}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j \qquad i \leq k \qquad j \leq k}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_k}$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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