多边形中的随机采样

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我想在多边形中采样均匀一致的点...

如果采样大量，则如果它们具有相同的面积，它们将很可能落入两个区域。

如果它是一个正方形，这将是非常简单的，因为我将[0,1]中的两个随机数作为我的坐标。

我拥有的形状是规则的多边形，但我希望它适用于任何多边形。

/programming/3058150/how-to-find-a-random-point-in-a-quadrangle

— 约翰·曼瓜尔
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对多边形进行三角剖分
确定该点应位于哪个三角形中（权重三角形区域）
样本中的三角点为解释在这个岗位

— 舒尔茨
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这个问题不是您链接的旧问题的重复吗？

— 拉斐尔

@Raphael：相关，但我会说更笼统。

— A.Schulz 2013年

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一种简单的方法是找到多边形的边界框并使用剔除采样：从边界框采样并接受其是否落入多边形内（发生概率至少为）（我认为）。 $1/2$

另一种可能性是对多边形进行三角剖分。首先以比例方式对三角形进行采样，然后对三角形中的随机点进行采样。后者很简单：在进行仿射变换之前，所有三角形的形式均为。要从该分布均匀采样一个点，首先根据密度采样（即采样均匀并计算），然后均匀地对采样（即对均匀采样并计算）。一个更简单的方法是将样品，如果 $\{(x,y) : x,y \geq 0, x+y \leq 1\}$ $x \in [0,1]$ $2(1-x)$ $r \in [0,1]$ $x = 1-\sqrt{1-r}$ $y \in [0,1-x]$ $s \in [0,1]$ $y = (1-x)s$ $x,y \in [0,1]$ $x+y > 1$ 用替换。 $(x,y)$ $(1-x,1-y)$

— Yuval Filmus
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拒绝采样将以2个维度中最多1/2的概率拒绝，但是在较高维度中，拒绝的概率可能会更差。

— DW

拒绝采样的拒绝率可能大于1/2。只是想起一个螺旋形，略微突出。

— A.Schulz

如果保证多边形是凸的怎么办？

— Yuval Filmus 2013年

如果您的边界框是轴向对齐的，则凸度无济于事。正如上一个问题的答案所建议的，对于一个非常大的x，只考虑一个顶点在（0，1），（1，0）和（x，x）的三角形-这将占其边界框的比例很小当x达到无穷大时。如果您正在谈论最小的边界框，那么您可能可以得出凸形

— 所占

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这有点疯狂，但是即使您的多边形非常怪异，也应该可以正常工作。

使用Reimann映射定理找到从单位圆盘到多边形的共形图，将其视为的子集。参见，例如： $\mathbb{C}$

http://siam.org/pdf/news/1297.pdf

然后使用光盘上均匀密度的前馈作为Metropolis-Hastings MCMC采样中的建议密度。

— 尼克·阿尔格
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但是，共形图并不一定要保留区域。它们保持角度，但是几乎可以保证不会均匀采样多边形。

— 史蒂文·斯塔德尼基

因此，需要将其用作MCMC中的建议，而不是用作实际采样器。利用庞加莱不等式，您可以显示均匀分布的共形图的变化以常数为界。

— Nick Alger 2013年

我也许仍然想念它。所指向的维基百科页面上的讨论说，“试发行”仍然需要直接正比于所需的分布; 即，对于某些常数和，不是，而是。映射密度的局部方差仍将导致采样中的局部方差。

a P (x) < f (x) < b P (x)

$aP(x)\lt f(x)\lt bP(x)$

a

$a$

b

$b$

f (x) = c P (x) \forall x

$f(x) = cP(x) \forall x$

— 史蒂文·斯塔德尼克

Metropolis Hastings MCMC的全部要点是该提议不是真正的发行。MCMC链的收敛速度取决于提案对真实分布的近似程度。最常见的建议是在当前点放置高斯，无论您要采样的分布是什么……

— Nick Alger 2013年