假设我是一名程序员，并且有一个NP完全问题需要解决。有哪些方法可以解决NPC问题？是否有关于此主题的调查或类似内容？

有许多经过深入研究的策略；哪种情况最适合您，取决于具体情况。

• 改善最坏情况的运行时间
  使用特定于问题的见解，您通常可以改善朴素的算法。例如，对于 c < 1.3 [1]，有用于Vertex Cover的算法。与天真的 Ω （2 n）相比，这是一个巨大的改进，并且可能使与您相关的实例大小易于处理。$O(c^n)$$c < 1.3$$\Omega(2^n)$

• 改善预期的运行时间
  使用启发式方法，您通常可以设计在许多实例上快速运行的算法。如果这些内容包括您在实践中遇到的大多数内容，那么您就是黄金。例如SAT（存在相当多的求解器）和Simplex算法（它可以解决多项式问题）。一种经常有用的基本技术是分支和绑定。

• 限制问题
  如果您可以对输入进行更多假设，则问题可能会变得容易。

  • 结构属性
    输入的属性可能具有简化解决问题的属性，例如，平面性，二部性或缺少图的次要特征。有关易于使用CLIQUE的图类的示例，请参见此处。
  • 输入的边界函数
    要看的另一件事是参数化的复杂度；有些问题在时间内可解为 ķ一些实例参数（最大节点度，最大边权重，...）和米恒定。如果您可以通过设置中的 n中的对数函数将 k绑定，则可以得到多项式算法。赛义德·阿米里（Saeed Amiri）在回答中提供了详细信息。$O(2^kn^m)$$k$$m$$k$$n$
  • 边界输入量
    。此外，一些问题承认算法在运行伪多项式时间，也就是它们的运行时，通过在一个多项式函数限定数目是输入的一部分; 天真的素数检查就是一个例子。这意味着，如果实例中编码的数量具有合理的大小，则可能有一些简单的算法可以很好地满足您的需求。

• 削弱结果
  这意味着您可以容忍错误或不完整的结果。主要有两种口味：

  • 概率算法
    您只有以一定的概率获得正确的结果。有一些变体，最著名的是蒙特卡洛算法和拉斯维加斯算法。一个著名的例子是Miller-Rabin素数检验。
  • 近似算法
    你不再找最佳解决方案，但几乎最优的。一些算法允许误差的相对（“不小于最优值的两倍”），而其他算法则允许误差的绝对（“不小于加上最优值”）界限。对于许多问题，可以近似地估计它们的程度是开放的。有些可以在多项式时间内任意近似，而有些则不允许这样做。检查多项式时间近似方案的理论。$5$

请参阅Hromkovič的《关于难题的算法》，以进行全面处理。

1. 简单就是美： Chen Jianer，Iyad A. Kanj，Ge Xia（2005）改进了顶点覆盖的上限。

其他答案从更理论的角度解决了这个问题。这是一种更实用的方法。

对于“典型的” NP完全决策问题（“是否有满足所有这些约束的问题？”），这是我始终会首先尝试的方法：

1. 编写一个简单的程序，将您的问题实例编码为SAT实例。

2. 然后使用一个好的SAT求解器，运行它（使用您碰巧拥有的最快的多核计算机），然后看看会发生什么。

首先尝试使用较小的实例，以了解可能需要花费多长时间。

经常令人惊讶的是，这种方法比尝试专门针对当前问题实现自己的求解器要好得多：

• SAT求解器非常聪明且经过优化。它们很容易胜过您自己的回溯搜索实现（无论您浪费了多少时间来优化代码）。它们还很容易胜过许多现有的替代方案，例如整数线性规划求解器。

• 这需要很少的编程。步骤1相对简单，对性能也不重要。您可以使用脚本语言，例如Python。其他人已经负责实现步骤2所需的一切。

对于典型的NP-hard 优化问题（“找到满足所有这些约束的最小问题”），此方法可能有效或无效。

如果您可以轻松地将其变成决策问题（ “是否存在满足所有这些约束的4号大小的东西？”，“ 3号大小呢？”），那么，对上述决策问题采取与上述相同的方法即可。

否则，您可能希望借助启发式求解器尝试找到一个小的解决方案（不一定是最小的解决方案）。例如：

1. 将您的问题编码为（加权） MAX-SAT实例。

2. 使用UBCSAT软件包中的启发式求解器。启发式求解器微不足道地并行化；尝试查找包含数百台计算机的计算机集群。您可以根据需要运行求解器，然后采用迄今为止找到的最佳解决方案。

参数化的复杂度

攻击难处理性的一种方法是在参数化的复杂性上下文中考虑问题。

$k$$f(k) \cdot p(n)$$k$$f(k)$只是一些可计算函数。FPT有许多NP难题，但是，NP中有许多问题被认为不是固定参数可处理的。

$O(n^{f(k)})$$\neq$

这些是W层次结构不同类别中的一些示例：

1. 顶点覆盖为FPT（无向图上的顶点不相交路径也是如此）
2. 独立集和集团都是W [1]-完全的
3. 支配集是W [2]-完成。

这些是复杂度的另一个级别，可以更精确地对NP问题进行分类，如果需要更多，可以查看Downey等人（1998年）的“ 参数化电路复杂度”和“ W层次结构”。

如果您想了解更多信息，那么可以阅读Flum和Grohe的参数化复杂性理论。

最后：

参数化复杂度与近似算法：

众所周知，如果问题具有FPTAS（完全多项式时间逼近方案），那么它也是FPT（这很明显），但是没有反向的众所周知的东西，也有一些关于PTAS和XP的关系的著作，但是PTAS和W层次结构之间的关系不是很紧密（至少目前我还不知道）。

同样在某些情况下，我们可能会修复一些不同的参数，例如：图中最长路径的长度是有界的，而解决方案的大小是有界的（例如，在反馈顶点集中），...

示例实际用法：

可能有些人认为参数化的复杂性在实践中是没有用的。但这是错误的。当您可以修复一些参数时，在实际应用中会发现许多参数化算法，下面是一个示例：

1. $2^{.^{.^{.^2}}}O(n)$$2$$O(k)$$k=10$

2. 用于TSP的最快，最准确的启发式算法之一是：巡回合并和分支分解，它使用问题的参数化（不是直接进行，而是基于一些良好的假设而使用的分支分解和动态规划方法）。

NP完整性是最坏情况下的难处理性。根据您要解决的问题，在实践中可能会在合理的时间内解决许多类的实例（尽管您可能需要更专门的算法才能获得良好的运行时）。

考虑查看是否可以将您的问题有效地减少为具有良好求解器的问题，例如布尔可满足性或整数线性编程。

$v_i$$v_j$$v_k$$G$$G$使用可容忍的算法在指数时间内解决问题。在指数算法中，当问题的输入大小小于特定值时，其中某些算法的运行时间可以忍受。

尽管在某些答案中进行了简要介绍，但让我强调，在实践中，NP完全问题一直都得到解决（或近似）。在实践中可以解决NP完全问题的主要原因是：

在实践中遇到的实例不是“最坏情况”。

出现差异的另一个原因是：

正式地分析启发式算法是困难的。

在实践中，您使用启发式算法来解决NP完全问题，并希望达到最佳效果。结果通常是惊人的。

其他答案中涉及的另一个问题是：

有时指数算法足够快。

那当然取决于问题。当涉及大数据时，我们有相反的准则：

有时，唯一可行的算法是拟线性的。

恐怕这里的人群理论上比较偏心。您可能会在主要的stackexchange网站上获得更好的答案。