如果是上下文无关的并且是规则的，那么是上下文无关的吗？

我无法解决下一个练习：

认为如果$L$是上下文无关的并且$R$是规则的，则$L / R = \{ w \mid \exists x \in R \;\text{s.t}\; wx \in L\}$（即右商）与上下文无关。

我知道应该存在一个接受L的PDA $L$和接受R的DFA $R$。我现在正在尝试将这些自动机结合到接受正确商数的PDA上。如果可以证明我证明了$L/R$是无上下文关系的。但是我一直在建造这款PDA。

这是我取得的成就：

在组合的PDA中，状态是单独的自动机状态的笛卡尔积。边缘是DFA的边缘，但是只有将来可以达到L原始PDA最终状态的边缘。但是不知道如何正式写下来。

这是一个提示。

您需要您的机器最初接受一部分单词，从而消耗掉磁带。然后，无需消耗任何东西，您就需要从中找到一些单词，这将使机器进入最终状态。从中选择的单词在第二部分的计算中扮演输入单词的角色。R $L$$R$$R$

显然，非确定性将起一定的作用，两台机器之间的乘积也会发挥作用。形式化的诀窍是调整产品以处理输入来自而不是输入的事实。$R$

我不确定您对笛卡尔积的看法。这会并行模拟两个自动机，这会给您带来交集。但是，您希望它标识中所有带有后缀的单词！在直觉上，就是这样。$L$$R$

假设我们的输入是。显然，我们不能检查所有可能的延续（对于成员资格），而只能检查有限数量的延续。Artem的评论在这里最有帮助；我们猜测后缀是什么，并对其运行两个自动机。 - [R $w \in \Sigma^*$$R$$x$

令和分别为的PDA 和 NFA 。构造自动机如下。在输入，模拟。消耗之后，切换到和的修改后的交点，并保持的状态。现在，不确定地为每个过渡确定虚拟输入中的下一个符号。接受当且仅当两个部件达到同时最终状态，也就是如果甲ř大号ř 甲瓦特∈ ＆Sigma; * 甲大号瓦特甲大号，ř甲大号甲ř 甲大号瓦特甲大号，- [R瓦特X 瓦特X ∈ 大号X ∈ $A_L$$A_R$$L$$R$$A$$w \in \Sigma^*$$A_L$$w$$A_{L,R}$$A_L$$A_R$$A_L$$w$$A_{L,R}$$w$具有延续，使得和。$x$$wx \in L$$x \in R$

您也可以使用形式语法。您看到如何并行导出两个语法吗？通常，尚不清楚如何适应因此您可以掌握后缀。使用Chomsky范式有帮助。$G_L$

假设和均以Chomsky范式给出。修改，以使最右边的非终结符可区分，并将其起始符号新的起始符号。为非终端的区别版本引入新规则，该新规则导致语法在和中并行导出（非终端是成对的非终端）；如果两个语法都在一个结束符号上一致，则删除复合非结束符。这样一来，在一个后缀当且仅当它可以在导出被删除和在，但它仍然。ģ ř ģ 大号ģ 大号ģ ř ģ 大号ģ 大号ģ ř瓦特∈ 大号/$G_L$$G_R$$G_L$$G_L$$G_R$$G_L$$G_L$$G_R$$w \in L/R$

我建议使用Raphael的答案，该答案更容易理解，但是这里是一种替代方法，使用闭包属性代替自动机：

令为一门语言。我们要读一个字，不过问是否是在语言。因此，我们希望从创建一种新的语言，该语言具有 “已擦除”。我们可以使用同构来实现，但是可以从删除字母。解决方案：将字母分为两个，并为和使用不同的字母。$L \subseteq A^{\ast}$$w$$L$$w x$$L$$x$$w$$w$$x$

更正式地：

1）创建从词语的，与每个字母标记的0或1。 2）与正则语言相交它。这迫使所有的0来之前全1，第二部分来自。的确切含义留给读者。 3）将替换，将替换。 使用的闭包属性：同态图像，原图像，与常规语言的交集。优点：该证明适用于其他家庭（例如，用常规替换无上下文关系）。大号（甲× 0 ）*（- [R × 1 ）- [R × （一，0 ）→ 一个（一，1 ）→ $L' \subseteq (A \times \{0,1\})^{\ast}$$L$
$(A \times {0})^{\ast} (R \times 1)$$R$$\times$
$(a,0) \to a$$(a,1) \to \varepsilon$