接受给定字符串并拒绝其他给定字符串的最小DFA

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给定字母两组字符串，我们可以计算最小的确定性有限状态自动机（DFA）从而使 $A,B$ $\Sigma$ $M$ $A \subseteq L(M)$ 和？ $L(M) \subseteq \Sigma^*\setminus B$

换句话说，代表一组积极的例子。DFA必须接受每个字符串。代表一组否定示例。DFA不接受任何字符串。 $A$ $A$ $B$ $B$

是否可以使用DFA最小化技术来解决此问题？我可以想象创建一个具有三种状态的类似于DFA的自动机：接受状态，拒绝状态和“无关”状态（任何以“无关”状态结尾的输入都可以被接受或被拒绝）。但是，我们能否找到一种将这种情况最小化到普通DFA的方法呢？

给出正面和负面的例子，您可以将其视为学习DFA的问题。

这是受 regex golf NP-Complete吗？，它向正则表达式而不是DFA询问类似的问题。

— DW
source

1

我认为您需要对

和

可能是哪种语言以及如何指定它们进行某种限制。

A

$A$

B

$B$

— reinierpost 2014年

关于学习功能/语言的文献很多，例如极限学习下的文献（也是金牌学习法）。这些不完全适合您的问题，但可能很有趣。

— 拉斐尔

7

您所描述的DFA称为分离DFA。当和为常规语言时，有一些有关此问题的文献，例如，陈宇芳，Azadeh Farzan，Edmund M. Clarke，Yih-Kuen Tsay，Bow-Yaw的“学习最小分离DFA进行成分验证”。 $A$ $B$

请注意，正如@reinierpost所述，对A和B没有任何限制，该问题可能无法确定。

— 鲨鱼
source

如果A和B都是常规语言，并且如果允许A或B任意接受或拒绝A和B会产生相同结果的任何输入，那么我看不出问题是如何无法判断的。对于任何特定大小的DFA，有可能构建一套完整的，应接受的输入和应拒绝的输入，以使状态数或更少的任何DFA都能正确处理所有测试用例在所有情况下都可以保证表现相同。由于一台接受一切内容的机器A接受并拒绝其他一切内容……

— 超级猫

...满足约束条件，可以对机器必须包含的状态数设置上限；由于给定大小的机器数量有限，并且要评估的测试用例数量有限，因此可以生成所有小于A的可能机器，并查看它们是否满足必要条件。这并不是解决问题的快速方法，但是如果A和B是规则的，则可以确定。如果它们不规则，则DFA将无法解决A或B。即使A和B不是，“差异”有时也可能是规则的，但是……

— 超级猫

...将是“不寻常的”情况。

— 2014年

8

$A$ $B$ $A \cap B = \emptyset$ $A$ $A \cap B \neq \emptyset$

找到与给定字符串集一致的最小DFA是NP完全的。该结果在Angluin 关于正则集的最小推理的复杂度的论文中显示为定理1 。显然，您的问题也是NP完全的。

有关学习常规语言的大量链接和讨论，请查看CSTheory博客文章“学习常规语言”。

— 中音
source

如果更改了要求，以便自动机可以任意接受或拒绝A和B中的任何东西，那么对于任何A和B来说，问题总是可以解决的；如果不选择最佳自动机就可以做到NP完全化，即使有这个要求也可以做到NP完全化。

— 2014年