具有写保护输入的单带图灵机只能识别常规语言

这是问题所在：

证明不能在包含输入字符串的磁带部分上写入的单带图灵机只能识别常规语言。

我的想法是证明该特定TM等同于DFA。

使用此TM模拟DFA非常简单。

但是，当我想使用此DFA模拟TM时，会遇到问题。对于TM转换，DFA可以通过向右读取磁带并执行相同的状态转换来明确地模拟。$\delta(q,a)=(q',a,R)$

对于，我无法弄清楚如何使用此DFA或NFA模拟左移，因为DFA仅向左读取且没有堆栈或要存储的东西。$\delta(q,a)=(q',a,L)$

我应该考虑另一种方式吗？有人可以给我一些提示吗？谢谢。

介绍

我认为问题的原始陈述中可能有错误，并且OP不再询问。因此，我假设磁带在任何地方都是只读的，并基于该假设写了第一张证明，其动机是TM能够在磁带的输入部分之外具有完全的图灵能力，因为它可以将其写入。相信它可以识别任何RE语言。

但是，情况并非如此：在磁带的输入部分上写的限制意味着只能从输入中提取有限的信息，这受磁带在该部分的进入和退出时的状态数的限制（与进入和退出一侧）。InstructedA因在评论中指出识别任何RE语言存在问题而受到赞誉，因为在没有EVER写入原始输入区域的情况下不可能复制输入，

因此，我写了第二个证明，假设仅磁带的输入部分是只读的，其余部分是可读写的。

我将两个证明都保留在这里，因为第一个证明确实帮助我找到了解决方案，即使没有必要理解第二个证明，也更为复杂，并且包含在第二个证明中。可以跳过。但是，较弱的证明具有建设性的优势（获得与图灵机等效的FSA），而更一般的结果则不是建设性的。

但是，我首先给出最后一个更有效的结果。令我有些惊讶的是，即使没有证据，我也无法在网络上的其他地方找到该结果，也无法通过询问一些合格的用户来找到该结果，因此欢迎引用任何已发表的作品。

内容：

• 不覆盖输入的图灵机仅接受常规语言。 该证明不是建设性的。

• 具有只读磁带的图灵机仅接受常规语言。 它可能被先前的证明所略过，但是它使用了不同的方法，具有建设性的优势。

不覆盖输入的图灵机仅接受常规语言

$\Sigma^*$

我们假定TM进入接受状态时接受。

证明。

我们将输入限制计算（IRC）定义为TM的（只读）计算，以便TM磁头停留在磁带的输入部分上，但最后一次转换可能会将其立即移动到磁带的单元上。输入区域的左侧或右侧。

甲限制计算左输入是一个IRC，关于输入的最左边的符号开始。甲限制计算右输入是一个IRC，关于输入的最右符号开始。

$p$

• $K_{Lp\to Lq}$$p$$q$

• $K_{Lp\to Rq}$$p$$q$

• $A_{Lp}$$p$

$p$$K_{Rp\to Lq}$$K_{Rp\to Rq}$$A_{Rp}$

这6个证明依赖于以下事实：双向不确定性有限状态自动机（2NFA）识别规则集（请参见Hopcroft + Ullman 1979，第36-41页，并执行第2.18页第51页）。2NFA就像只读磁带上的只读TM一样，在磁带上只能从其最左端的符号开始输入，并通过在接受状态下移至右端来进行接受。

$K_{??\to ??}$

$p$$q$

$k$$4k^2$$K_{??\to ??}$$2k$$A_{??}$$4k^2+2k$

$4k^2+2k$$\Sigma^*$$4k^2+2k$

$\mathcal P$$\Sigma^*$$2^{4k^2+2k}$

$u$$v$$\mathcal P$$u$$v$$\mathcal P$

为了完整起见，我们跳过了空输入字符串的情况。在这种情况下，我们只有一个普通的TM，可以在任何地方读取或写入。如果到达接受状态，则该空字符串使用该语言，否则不使用。但这对公认的语言是规则的事实影响不大。

当然，不能确定等效类是否使用该语言（对于空字符串也是如此）。这是非建设性的证明。

QED

带只读磁带的图灵机仅接受常规语言

这被先前的结果所包含。它保持不变，因为它使用了不同的方法（可能不太优雅），并通过理解重要内容帮助我找到了以前的证明。但是读者很可能会跳过它。但是，该证明的一个优点是它是一种构造性证明，可以产生接受该语言的FSA。类似证明的草图由下式给出亨德里克·扬在他的回答到以前类似的问题，即假设整个胶带只读。

$\Box$

证明的第一步是证明磁头不必离开磁带的输入区域。因此，我们分析了当磁头离开最右边的输入符号时发生的情况。从最左边移出时的分析是相同的。

$q$

1. TM永远保持计算，而磁头永远不会回到磁带的输入部分。

2. TM到达（a）接受或（b）处于非接受状态；

3. $r$

$q$

$\Box$$1$$0$

$0$

我们用有向图表示有限状态控制的相关部分，其中的顶点是TM的状态，而边缘是空白的过渡，权重+1或-1取决于头是否应该移动右或左。

$A_R$$q$

$E_R$$(q,r)$$-1$$q$$r$

$\Box$

$q_A$

$p,a\mapsto R,q$$p,a\mapsto R,q_A$$q\in A_R$

$p,a\mapsto R,q$$(q,r)\in E_R$$p,a\mapsto S,r$$S$

$a$$F_a=\{(p,r)\mid \text{ there is a dummy transition } p,a\mapsto S,r\}$$F_a^*$$F_a$$r,a\mapsto L,s$$(p,r)\in F_a^*$$p,a\mapsto L,s$

$+1$$-1$

$q_A$

现在，我们必须进行一些外观上的更改，以使此TM的行为与双向NDA完全相同（接受只是通过将右侧的输入退出到处于eccpccing状态）。然后，我们可以依靠2-NDA与FSA之间的已知等价关系（例如，参见Hopcroft + Ullman 1979，第40页）来获得语言是正规的证明。

QED

向左或向右移动不是问题，因为两种方式的有限自动机可以识别常规语言的准确性（这并不明显）。但是，如果您的TM可以在输入单词的磁带部分之外书写，那么我认为您可以使用磁带的这一部分以常规语言进行识别。也许我不太清楚这个问题。