不同常规语言的数量

给定一个字母 $\Sigma = \{ a,b \}$ ， $n$ 状态非确定性有限自动机可以接受多少种常规语言？

例如，让我们考虑 $n=3$ 。然后，我们有 $2^{18}$ 种不同的过渡配置以及 $2^3$ 种不同的开始和结束状态配置，因此我们有 $2^{24}$ 种不同语言的上限。
但是，其中许多功能都是等效的，并且由于测试是PSPACE-Complete，因此测试每个设置可能不可行。
是否存在其他方法或组合参数来限制给定资源接受的不同语言的数量？

— john_leo
source

只有3种不同的启动状态配置，而不是

2^{3}

$2^3$ 。

— FrankW

简便的想法：常规语言的特征是有限的许多对等类，参见Myhill-Nerode。

n

$n$ 状态自动机可以支持多少套不同的等价类？

— 拉斐尔

谷歌搜索Domaratzki，Kisman和Shallit撰写的“关于具有n个状态的有限自动机所接受的不同语言的数量”的论文对Google可能会有所帮助。

— Hendrik 2014年1

这是论文引文网址

— vzn 2014年

在tcs.se上发现了几乎相同的问题：大小为n的DFA接受多少种语言？

— vzn 2014年

这是“ n个状态的有限自动机所接受的独特语言数量 ”论文的摘要。对于NFA接受的不同语言的数量，本文提供了相对容易的方法，但还没有严格的限制和上限。他们对不同DFA数量的讨论非常有见地，因此，我还将包括这一部分。

本文首先针对DFA 在一元字母上具有个状态的DFA接受的不同语言的数量，给出了非常严格的渐近线。这通过观察在什么条件下给定的状态一元DFA最小来完成。在这种情况下，自动机的描述可以（双向地）映射到原始单词，并且此类单词的枚举是众所周知的，并借助Möbius函数完成。使用该结果，可以证明DFA和NFA情况下非一元字母的边界。 $n$ $n$

让我们更详细地讲。对于第字母，定义 $k$ 注意。我们从和。

\begin{aligned} f_{k} (n) & = the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with n states \\ g_{k} (n) & = the number of distinct languages accepted by DFA's with n states \\ G_{k} (n) & = the number of distinct languages accepted by NFA's with n states \end{aligned}

$\begin{align*} f_k(n) &= \text{the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with } n \text{ states}\\ g_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by DFA's with } n \text{ states}\\ G_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by NFA's with } n \text{ states} \end{align*}$

g_{k} (n) = \sum_{i = 1}^{n} f_{k} (i)

$g_k(n) = \sum_{i=1}^n f_k(i)$

f_{1} (k)

$f_1(k)$

g_{1} (k)

$g_1(k)$

一元DFA的枚举

一元DFA 状态为是最小的 $M = (Q, \{a\},\delta, q_0,F)$ $q_0,\dots, q_{n-1}$

已连接。因此，重命名后，它的转换图包括一个环和一个尾部，即和一些。 $\delta(q_i,a) = q_{i+1}$ $\delta(q_{n-1},a)=q_j$ $j \leq n-1$
循环是最小的。
如果，则要么和或和。 $j \neq 0$ $q_{j-1} \in F$ $q_{n-1} \notin F$ $q_{j-1} \notin F$ $q_{n-1} \in F$

如果由定义的单词循环最小。 $q_j,\dots, q_{n-1}$ $a_j \cdots a_{n-1}$ 是原始的，这意味着它不能在形式写成对于一些单词和一些整数。数的长度的原始词语超过-letter字母是已知的，参见例如Lothaire，组合学上字。我们有

a_{i} = {\begin{cases} 1 if q \in F, \\ 0 if q \notin F \end{cases}

$\begin{equation*} a_i = \begin{cases} 1 \quad \text{if } q \in F, \\ 0 \quad \text{if } q \notin F \end{cases} \end{equation*}$

x^{k}

$x^k$

x

$x$

k \geq 2

$k \ge 2$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

n

$n$

k

$k$

其中，

是莫比乌斯函数。的帮助下

的纸证明了精确的公式为

和

和显示，渐近（定理5和推论6），

ψ_{k} (n) = \sum_{d | n} μ (d) k^{n / d}

$\begin{equation*} \psi_k(n) = \sum_{d | n} \mu(d) k^{n/d} \end{equation*}$

μ (n)

$\mu(n)$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

f_{1} (n)

$f_1(n)$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

\begin{aligned} g_{1} (n) & = 2^{n} (n - α + O (n 2^{- n / 2})) \\ f_{1} (n) & = 2^{n - 1} (n + 1 - α + O (n 2^{- n / 2})) . \end{aligned}

$\begin{align*} g_1(n) &= 2^n \left(n-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right) \\ f_1(n) &= 2^{n-1}\left(n+1-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right). \end{align*}$

DFA的枚举

下一步是的下界。定理7所指出对于一组自动机的，定义为一体的限制至。 $f_k(n)$

f_{k} (n) \geq f_{1} (n) n^{(k - 1) n} \sim n 2^{n - 1} n^{(k - 1) n} .

$\begin{equation*} f_k(n) \ge f_1(n) n^{ (k-1)n} \sim n 2^{n-1}n^{(k-1)n}. \end{equation*}$

Δ \subset Σ

$\Delta \subset \Sigma$

M

$M$

M_{Δ}

$M_{\Delta}$

M

$M$

Δ

$\Delta$
证明作品考虑设定

的DFA的

比

-letter字母表

的定义

S_{k, n}

$S_{k,n}$

M

$M$

k

$k$

{0, 1, \dots, k - 1}

$\{0,1,\dots,k-1 \}$

令为个状态下不同的一元DFA之一，并且 $M_{ \{0 \}}$ $f_1(n)$ $n$
选择任何功能为并限定为和。 $k-1$ $h_i : Q \to Q$ $1 \le i < k$ $\delta(q,i) = h_i(q)$ $1 \le i < k$ $q \in Q$

$S_{n,k}$ $f_1(n) n^{ (k-1)n}$

NFA的枚举

$G_1(n)$ $2^n$ $\epsilon, a,\dots, a^{n-1}$ $n$
$G_1(n) \le \left( \frac{c_1 n}{\log n}\right)^n$
$k \ge 2$

n 2^{(k - 1) n^{2}} \leq G_{k} (n) \leq (2 n - 1) 2^{k n^{2}} + 1.

$\begin{equation*} n 2^{(k-1)n^2} \le G_k(n) \le (2n-1) 2^{kn^2} +1. \end{equation*}$ The proof is quite short, hence I include it verbatim (more or less). For the upper bound, note that any NFA can be specified by specifying, for each pair

(q, a)

$(q,a)$ of state and symbol, which subset of

Q

$Q$ equals

δ (q, a)

$\delta(q,a)$ (hence the factor

2^{k n^{2}}

$2^{kn^2}$ . We may assign the final states as follows: either the initial state is final or not, and since the names of the states are unimportant, we may assume the remaining final states are

{1, \dots, k}

$\{1,\dots,k\}$ for

k \in [0.. n - 1]

$k \in [0..n-1]$ . Finally, if we choose no final states, we obtain the empty language.
For the lower bound the authors proceed in a similar way as in the proof for the DFA case: Define an NFA

M = (Q, Σ, δ, q_{0}, F)

$M=(Q,\Sigma,\delta,q_0, F)$ with

Σ = {0, 1, \dots, k - 1}

$\Sigma = \{ 0,1,\dots,k-1 \}$ ,

Q = {q_{0}, \dots, q_{n - 1}}

$Q=\{ q_0,\dots, q_{n-1} \}$ and

δ

$\delta$ :

\begin{aligned} δ (q_{i}, 0) & = q_{(i + 1) \mod n} for 0 \leq i < n \\ δ (q_{i}, j) & = h_{j} (i) for 0 \leq i < n, 1 \leq j < k \end{aligned}

$\begin{align*} \delta(q_i,0) &=q_{(i+1) \mod n} \quad \text{for } 0 \le i <n \\ \delta(q_i,j) &=h_j(i) \quad \text{for } 0 \le i <n,\, 1 \le j < k \end{align*}$ where

h_{j} : {1, \dots, n - 1} \to 2^{Q}

$h_j: \{ 1,\dots,n-1\} \to 2^Q$ is any set-valued function. Finally, let

F = {q_{i}}

$F=\{q_i\}$ for any

i \in [0.. n - 1]

$i \in [0..n-1]$ . There are

2^{(k - 1) n^{2}}

$2^{(k-1)n^2}$ such functions and

n

$n$ ways to choose the set of final states. One can then show that no two such NFA's accept the same language.

— john_leo
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