重新审视朗道条款

我问了一下朗多的术语和的（种子）的问题之前，想判断滥用渐近性符号在算术，成败参半的危险。

现在，在这里，我们的循环专家JeffE基本上是这样的：

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \Theta\left(\frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

尽管最终结果是正确的，但我认为这是错误的。为什么？如果我们加上所有隐含的常数（只有上限），我们有

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n c_i \cdot \frac{1}{i} \leq c \cdot H_n$ 。

现在我们如何从计算？我相信答案是，我们不能：必须绑定所有但是随着增长，我们会得到更多的。我们对它们一无所知。可能非常依赖于，所以我们不能假设一个界限：有限的可能不存在。 $c$ $c_1, \dots, c_n$ $c$ $n$ $c_i$ $n$ $c_i$ $i$ $c$

此外，还有一个微妙的问题，即哪个变量在左侧变为无穷大 $i$ 或 $n$ ？都？如果 $n$ （出于兼容性考虑），知道，则是什么意思？它不仅意味着吗？如果是这样，我们就不能比更好地约束和。 $\Theta(1/i)$ $1 \leq i \leq n$ $\Theta(1)$ $\Theta(n)$

那么，那把我们留在哪里呢？这是公然的错误吗？一个微妙的？还是仅仅是惯常使用符号，我们不应该在上下文中查看 $=$ 符号？我们是否可以制定（严格）正确的规则来评估（确定）Landau项的总和？

我认为主要的问题是：什么是？如果我们认为这是不变（因为它是和的范围内），我们可以轻松地构建反例。如果不是恒定的，我不知道如何阅读。 $i$

terminology asymptotics landau-notation

— 拉斐尔
source

通常，这个关于math.SE的问题是有关Landau术语的算术的很好阅读。

— 拉斐尔

从您给出的链接中，可以将相等视为子集关系或“处于”关系（即）。对于您只是说它由一个常量上下限制。为什么不选择和？

\in

$\in$

Θ

$\Theta$

c = min (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$c = \min(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

C = max (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$C = \max(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

— user834 2012年

等一下，Bucky。我没有写任何带有Theta的总结。我在其中写了一个Theta的重复记录。您是否将重复出现的“ ”解释为“这样 “？

t (n) = Θ (1 / n) + t (n - 1)

$t(n) = \Theta(1/n) + t(n-1)$

f \in Θ_{x \to \infty} (x \mapsto 1 / x)

$f \in \Theta_{x\to \infty}(x\mapsto 1/x)$

t (n) = f (n) + t (n - 1)

$t(n) = f(n) + t(n-1)$

— JeffE 2012年

@Raphael不，由于您描述的原因，递归在数学上与和并不相同！递归中恰好有一个Theta术语，明确地指的是一个函数。

— JeffE 2012年

这不是很直观 -我非常不同意，但是我认为这是个人品味和经验的问题。

— JeffE 2012年

Answers:

遵循以下约定对我来说很正确：

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \Theta(1/k)$ 是方便的表示法

有一个（如）这样 $f(x) \in \Theta(1/x)$ $x \to \infty$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(k)$ 。

因此，您得到的（或此答案中的符号）实际上并不依赖于。 $c_i$ $c_k$ $k$

根据这种解释，确实是。 $S_n = \Theta(H_n)$

实际上，在杰夫的答案中，他表明其中，因此与上述解释一致。 $T(k+1) = f(k) + T(k)$ $f \in \Theta(1/k)$

混乱似乎是由于精神上“展开”并为每次假定不同的功能而引起的。 $\sum$ $\Theta$

— Aryabhata
source

Jup，但是每个都可以有自己的功能和常数。因此，此约定仅适用于上下文，也就是说，如果我们知道 Landau术语源于求和项的某种“统一”（以和）。

Θ

$\Theta$

k

$k$

n

$n$

— 拉斐尔

@Raphael：展开然后允许使用不同的似乎没有意义：常量将取决于变量！并假设变量为（或上面的答案中的），它会错误地使用。即使我们假设变量为，对我来说它仍然毫无意义。

f_{i}

$f_i$

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

i

$i$

k

$k$

n

$n$

— Aryabhata

原则上，每个都可以有自己的常数，但是在您描述的特定上下文中，很显然每个都没有自己的常数。

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

— JeffE

@JeffE：对。只要常数真的是常数，我们就可以有多个

：-)

Θ

$\Theta$

— Aryabhata 2012年

@JeffE那么，为什么不写你的意思，却喜欢模棱两可/错误的东西呢？请注意，我的最新答案现在提出了一种方法。我希望对此发表评论。无缘无故地降票并不能帮助我理解为什么人们似乎拒绝我的观点。

— 拉斐尔

我想我已将问题解决了。本质上：使用Landau术语将summand函数的变量与sum的运行变量解耦。因此，我们仍然（希望）将它们视为相同，因此造成了混乱。

要正式开发它，有什么作用

$\qquad \displaystyle S_n \in \sum_{i=1}^n \Theta(f(i)) \qquad \qquad\qquad (1)$

实际意思？现在，我假设这些使 -而不是达到无穷大；如果我们让，则每个这样的总和求和为（如果求和与无关，因此为常数），这显然是错误的。这是我们对粗略事物的第一个赠品：在和内绑定（并且是常数），但是我们仍然让它达到无穷大吗？ $\Theta$ $i$ $n$ $n \to \infty$ $\Theta(n)$ $n$ $i$

翻译（对于上限，下限的作用类似），我们得到 $(1)$

$\qquad \displaystyle \exists f_1, \dots, f_n \in \Theta(f).\ S_n \leq \sum_{i=1}^n f_i(i)$

现在很明显，sum- 和parameter- 是解耦的：我们可以轻松定义以便它们将用作常数。在从问题的例子，我们可以定义 $i$ $i$ $f_i$ $i$ 和具有 $f_i(j) = i \cdot \frac{1}{j} \in \Theta(1/j)$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^n f_i(i) "=" \sum_{i=0}^n \Theta(1/j) = \sum_{i=0}^n \Theta(1/i)$

但是原始和显然不等于。现在将为（只是重命名），在可能会感到奇怪，因为并不独立于 resp。总和，但是如果我们现在反对，那我们绝对不应该首先在内使用（因为它具有相同的奇异性）。 $\Theta(H_n) = \Theta(\log n)$ $j$ $i$ $\Theta$ $i$ $n$ $i$ $\Theta$

注意，我们甚至没有利用也可能依赖于。 $f_i$ $n$

总而言之，拟议的身份是伪造的。当然，我们可以就如何读取和（如严格计算的缩写）达成约定。但是，此类约定将与Landau术语的定义（以及对它们的正常滥用）相矛盾，至少在没有上下文和误导（对于初学者而言）的情况下无法正确理解-但这最终还是一个品味（和无情的问题）？）。

在我看来，我们还可以准确地写出我们的意思，而仍然利用Landau术语的便利性。我们知道所有求和项都来自一个公共函数，这意味着渐近边界使用相同的常数。当将放入和中时，这是丢失的。所以我们不要把它放在那里写 $\Theta$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{2i - 1}{i(i+1)} \in \Theta\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

代替。将置于和之外可得出 $\Theta$

数学上正确的陈述，以及
一个简单的短期内的我们可以轻松应对（而这正是我们想在这里吧？）。 $\Theta$

所以在我看来，这既是正确的，并写下来物质的有效途径，因此应在使用朗道符号首选内之时，我们的意思是他们外面的它。

— 拉斐尔
source

考虑

。我可以定义

（使用

作为常数），因此

对吧？但是这个和是

。

\sum_{i}^{n} i

$\sum_i^n i$

f_{i} (n) = i

$f_i(n)=i$

i

$i$

\sum_{i}^{n} i = \sum_{i}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_i^n i = \sum_i^n O(1) = O(n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Xodarap

@Xodarap：按照我的推理，像这样折叠和是行不通的，因为将内部

（既不耦合到

也不耦合到

）耦合到

确实改变了含义。

Θ

$\Theta$

i

$i$

n

$n$

n

$n$

— 拉斐尔

我没有将它们耦合到

，我只是利用

的事实。（而且我还假设

。）

n

$n$

\sum_{i}^{n} k = n k

$\sum_i^n k = nk$

n O (f) = O (n f)

$nO(f)=O(nf)$

— Xodarap 2012年

@Xodarap：但你不有一个

，但一个

每加数。如果基础函数

使用

（作为常数），则必须对其进行扩展，其和最终是正确的。因此，很明显，根据我的推理，您提出的求和规则在撰写时不起作用。

f

$f$

f_{i}

$f_i$

f_{i}

$f_i$

i

$i$

— 拉斐尔

如果我有一个序列

，每这些都是

（前提是不增加的系列进展）。您是否可以说将

加在一起会产生总和

？如果不是将它们描述为常数函数

什么区别？

5, 1, 3, 2, \dots

$5,1,3,2,\dots$

O (1)

$O(1)$

n

$n$

O (n)

$O(n)$

f_{1} (x) = 5, f_{2} (x) = 1, \dots

$f_1(x)=5,f_2(x)=1,\dots$

— Xodarap

-1

如果每个是常数，则有一些，使得。如此明确 $c_i$ $c_{max}$ $\forall c_i: c_i\leq c_{max}$ 同样的想法的小O操作。

\sum c_{i} f (i) \leq \sum c_{m a x} f (i) = c_{m a x} \sum f (i) = O (\sum f (i))

$\sum c_i f(i) \leq \sum c_{max} f(i) = c_{max} \sum f(i) = O\left(\sum f(i)\right)$

我认为这里的问题是。它的（因为没有使得），所以总体总和将。每个项均为，这意味着总和为 $1/i\not=\Theta(1)$ $o(1/n)$ $\epsilon$ $\forall i: 1/i>\epsilon$ $no(1/n)=o(1)$ $O(1)$ $O(n)$ 。因此，无法从此方法找到严格的界限。

我认为您的问题是：

通过对每个项的小o和对每个项的大o乘以界定是可接受的吗？（答案：是） $\sum_i^n f(i)$ $n$
有没有更好的方法？（答案：据我所知。）

希望其他人可以更清楚地回答＃2。

编辑：再次查看您的问题，我想您是在问

？ $\sum_i^n \Theta(f(n)) = \Theta(nf(n))$

答案是肯定的。但是，在这种情况下，每个项都不是，因此这种方法会分崩离析。 $\Theta$

编辑2：您说“考虑，那么就没有 ”。毫无疑问是真的。如果你说是一个不恒定的功能，那么，根据定义，非恒定的。 $c_i=i$ $c_{max}$ $c_i$ $i$

请注意，如果以此方式定义，则不是，而是。事实上，如果你定义“不变”是指“任何功能 ”，那么任何两个功能由一个“常量”不同！ $c_i i$ $\Theta(i)$ $\Theta(i^2)$ $i$ $i$

也许这是考虑它的一个更简单的方法：我们有序列。这个序列中最小的术语是什么？好吧，这将取决于。因此，我们不能将这些术语视为常数。 $1,\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{n}$ $n$

（计算机科学家通常对big-O更为熟悉，因此询问是否具有恒定的最大项可能更直观。） $1,\dots,n$

为了提供您的证明：令为在范围内的最小值。然后 $f(i_{min})$ $f(i)$ $1,\dots,n$

\sum_{i}^{n} f (i) \geq \sum_{i}^{n} f (i_{m i n}) = n f (i_{m i n}) = n o (f (n))

$\sum_i^n f(i) \geq \sum_i^n f(i_{min}) = n f(i_{min}) = n o(f(n))$

可以为上限做出类似的证明。

$H_n = o(n)$ $H_n = \Theta(\log n)$ $H_n$ $n$ $\log n$ $\Theta(\log n)$ $o(n)$

— Xodarap
source

c_{m a x}

$c_{max}$

(c_{i})_{i \in N}

$(c_i)_{i \in \mathbb{N}}$

c_{i} = i

$c_i = i$

H_{n} = o (n)

$H_n=o(n)$

H_{n} \in Θ (\ln n)

$H_n \in \Theta(\ln n)$

1 / i \neq Θ (1)

$1/i\not=\Theta(1)$

o (1 / n)

$o(1/n)$

1 / i \geq 1 / n

$1/i \geq 1/n$

1 / i \in Ω (1 / n)

$1/i \in \Omega(1/n)$

n

$n$

f

$f$

n

$n$

我仍然不明白您在说什么，所以很高兴您弄清楚了:-)

— Xodarap