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让是被称为是一些计数问题＃ -完全。$\Pi$$P$

是否暗示是硬的（即，除非否则不存在用于该问题的PTAS）？$\Pi$$APX$$P=NP$

否。即使对于4个正则图，对图中的独立集合进行计数也是#P困难的，但是Dror Weitz给出了PTAS，用于对任意 [3] 的正则图的独立集合进行计数。（在他所写的模型中，对独立集合进行计数相当于采用）d ≤ 5 λ = $d$$d\leq5$$\lambda=1$

计算0-1矩阵的永久性也是# P-困难的（这在Valiant的原始#P论文[2]中），但是，稍微放松您的要求，由于Jerrum和Sinclair [1]，所以有了FPRAS。这对应于计算二部图中的完美匹配。

参考文献

[1] Mark Jerrum和Alistair Sinclair，“逼近永久物”。SIAM计算杂志，18（6）：1149-1178，1989。（PDF）

[2] Leslie Valiant，“计算永久物的复杂性。” 理论计算机科学，1979年8：189–201。（PDF）

[3] Dror Weitz，“计数独立设置到树阈值。” STOC2006。（未发布的完整版本：PDF。）

再添加一个我遇到的示例，结果更加出色：

$\#P$