是什么意思？

这是一个基本问题，但是我认为与，因为在我们趋于无穷大时，较大的项应该起主导作用？同样，这将不同于。那正确吗？我一直看到这种表示法，尤其是在讨论图形算法时。例如，您通常会看到：（例如，参见此处）。 $O(m+n)$ $O(\max(m,n))$ $O(\min(m,n))$ $O(|V| + |E|)$

— 坦率
source

也许

m

$m$ 取决于

n

$n$

— Andrew

Answers:

你是对的。请注意，术语 $O(n+m)$ 略微滥用了经典的big-O符号，该符号是为一个变量中的函数定义的。但是，对于多个变量有自然的扩展。

简而言之，由于

\frac{1}{2} (m + n) \leq max {m, n} \leq m + n \leq 2 max {m, n},

$\frac{1}{2}(m+n) \le \max\{m,n\} \le m+n \le 2 \max\{m,n\},$ 您可以推断出

O (n + m)

$O(n+m)$ 和

O (max {m, n})

$O(\max\{m,n\})$ 是等效的渐近上界。

另一方面， $O(n+m)$ 与 $O(\min\{n,m\})$ ，因为如果设置 $n=2^m$ ，则会得到

O (2^{m} + m) = O (2^{m}) ⊋ O (m) = O (min {2^{m}, m}) .

$O(2^m+m)=O(2^m) \supsetneq O(m)=O(\min\{2^m,m\}).$

— 舒尔茨
source

我认为值得注意的是，他们以抽象的形式写道：“我们表明，不可能以暗示算法分析中常用属性的方式为多个变量定义函数的big-O表示法。我们还证明了常用定义即使big-O表示法中的函数严格限制为不递减，也不表示这些属性。”

— 拉斐尔

作为我上述评论的后续内容，K。Rutanen（2015）最近发表的文章“用于算法分析的O表示的一般定义” 的确显示了如何为通用集（包括）定义有意义的O表示。。

N^{2}

$\mathbb{N}^2$

— 拉斐尔

信不信由你，以我的经验，似乎很多算法人员实际上并未考虑过大O表示形式的含义，当被问到这个问题时，您会得到几个不同的答案。Rodney R. Howell 在《关于具有多个变量的渐近符号》一文中讨论了一些问题。

奇怪的是，似乎大多数入门算法课程都花大量时间对带有单个变量的O表示法进行非常正式的介绍，然后接下来的几周愉快地对带有多个变量的图算法使用该表示法，而不用讨论什么。符号实际上是指。

— 克里斯托弗·阿恩斯费尔特·汉森
source

我的答案中的链接引用的是Howell的文章，对于这个问题确实是一种不错的选择。

— A.Schulz

@ A.Schulz：确实，我正在同时向您输入答案。

— Kristoffer Arnsfelt Hansen 2012年

我赞成对Landau的条款保持谨慎，因此我同意，但这包含了太多好的答案。

— 拉斐尔

@Raphael：答案并非as之以鼻，但也许可以用更准确的措词来表达。问题是，基本上，问题是，具有多个参数的大O的含义是什么。答案是，这应该意味着无论在算法社区中有什么共识，在算法课程中所教的内容，等等。我的观点是，对于该符号的确切含义似乎没有如此共识。

— Kristoffer Arnsfelt Hansen 2012年