更改递归关系中的变量

目前，我正在研究算法简介（CLRS），书中概述了一种解决递归关系的特定方法。

此示例可以说明以下方法。假设我们有复发

T (n) = 2 T (\sqrt{n}) + \log n

$T(n) = 2T(\sqrt n) + \log n$

最初，他们进行替换m = lg（n），然后将其重新插入递归并获得：

T (2^{m}) = 2 T (2^{\frac{m}{2}}) + m

$T(2^m) = 2T(2^{\frac{m}{2}}) + m$

到目前为止，我完全理解。下一步是使我感到困惑的步骤。

他们现在“重命名”递归并令，这显然会产生 $S(m)$ $S(m) = T(2^m)$

S (m) = 2 S (m / 2) + m

$S(m) = 2S(m/2) + m$

出于某种原因，我不清楚这种重命名为何起作用，而且似乎只是作弊。谁能更好地解释这一点？

— 傻瓜
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Answers:

当然不是在作弊。在微积分中思考如何使用替代来解决棘手的积分。替换使方程更易于管理。此外，替换可能会将有些复杂的重复转化为熟悉的重复。

这正是您的示例中发生的情况。我们定义一个新复发。请记住， $S(m)=T(2^m)$ 。请注意， $T(2^m) = 2T(2^\frac{m}{2}) + m$ 。如果仍然不清楚这一点，则令并注意，我们所做的只是此。现在，我们可以将扩展为：求解我们看到它解决了我们熟悉的朋友 $S(m/2) = T(2^\frac{m}{2})$ $k =m/2$ $S(k) = T(2^k)$ $S(m)$

S (m) = 2 S (m / 2) + m .

$S(m) = 2S(m/2) + m.$

S

$S$

。现在我们已经解决了

我们想用

。要做到这一点，仅仅插回我们原来的价值

，我们有

。

O (m \log m)

$O(m \log m)$

S

$S$

T (n)

$T(n)$

m

$m$

T \in O (\log n \log \log n)

$T \in O(\log n \log \log n)$

— 尼古拉斯·曼库索（Nicholas Mancuso）
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是的，我完全理解替换是如何帮助简化问题的，以及如何重新插入值以获取n的复杂度。我想我的问题是，让S（m）= T（2 ^ m）之后，如何推导S（m / 2）？由于某种原因，这对我来说并不明显。更具体地说，如何得出T（2 ^（m / 2））= S（m / 2）的结论。似乎在重复次数T中，子问题的大小是平方根，而在重复次数S中，子问题的大小正在减半

我唯一不了解的部分是当您说“注意，S（m / 2）= T（2 ^（m / 2））”时，这是唯一对我不明显的部分。我习惯了进行变量替换的想法，但是我并不习惯于替换整个重复项。

好的，那最后的编辑为我做了。现在很清楚，谢谢！

我有点怀疑。如果我写来讲函数S（）k我得到等式S（K）= 2S以下（K / 2）+ M如何获得替代m的k

— Atinesh

$S(m) = T(2^m)$ $S$ $T$ $m$ $2^m$

$S$

$S'$ $m$ $2^m$
$T$

因此，过渡是：

m \to 2^{m} \to T (2^{m}) = S (m)

$m\to 2^m\to T(2^m) = S(m)$

\frac{m}{2} \to 2^{m / 2} \to T (2^{m / 2}) = S (\frac{m}{2}) .

$\tfrac{m}2\to2^{m/2}\to T(2^{m/2}) = S(\tfrac{m}2)\,.$

— Vivek Anand Sampath
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