这个组合优化问题是否与任何已知问题相似？

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问题如下：

我们有一个二维的数字数组/网格，每个数字代表某种“收益”或“利润”。我们也有两个固定整数和（分别表示“宽度”和“高度”。）和一个固定整数。 $w$ $h$ $n$

现在，我们希望在网格上覆盖尺寸为矩形，以使这些矩形中的单元格值的总和最大化。 $n$ $w \times h$

下图是一个二维网格的示例，上面覆盖了两个这样的矩形（图片未展示最佳解决方案，只是其中和一种可能的覆盖） $w = h = 2$ $n = 2$

网格示例

矩形不能相交（否则，我们只需要找到一个矩形的最佳位置，然后将所有矩形放在该位置即可。）

在上面的示例中，单元格中值的总和为 $-2 + 4.2 + 2.4 + 3.14 + 2.3 -1.4 + 1 - 3.1$

这是否类似于组合优化中的任何已知问题？这样我就可以开始阅读并尝试找到解决方法。

那些感兴趣的人还有更多背景知识：

到目前为止，我仅有的想法是贪婪算法（它将找到第一个矩形的最佳位置，然后找到第二个矩形的不重叠位置等）或某种元启发式方法，例如遗传算法。

实际上，我希望使用具有大约一百万个单元和数万（甚至数十万）个矩形的网格来解决此问题，尽管没有必要在短时间内解决它（即对于该算法需要花费数小时甚至数天的时间。）我不希望找到确切的解决方案，但是我想得到一个在这些限制条件下尽可能好的解决方案。

干杯!

— 五十八
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（在电话上）这似乎可以通过转换和其他一些限制条件下的最大匹配来解决。稍后我会尝试写。

— Nicholas Mancuso 2015年

我可以想象要求使用精确的意味着有时不使用“局部”最大值，而是使用一个环。我在这里想象一个简单的圆顶形状，其中“贪婪”地取下圆顶中心意味着您无法将所有都容纳在其周围。

n

$n$

n - 1

$n-1$

— 马克·赫德

我的第一个想法是尝试动态编程。根据其与曼哈顿左上角的距离对正方形进行编号。一个子问题是：正方形的；您选择的矩形的列表，其左上角的数字小于；目标是通过添加一些左上角的数字为的正方形子集，将扩展到最佳的非重叠正方形集。如果您有所有后续子问题的解决方案，则可以快速解决每个子问题。唯一的问题是您必须探索多少个子问题。

s

$s$

L

$L$

s

$s$

L

$L$

\geq s

$\ge s$

— DW

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我的最后一个公式有一个致命缺陷，那就是需要成倍数量的“约束”节点。

该问题的另一种自然的图形表示形式是创建一个图形，其中每个顶点代表一个的矩形。任何一对重叠的矩形在此图中都有边。通过求解大小为最大加权独立集，我们可以解决您的原始问题。为此，存在许多良好的启发式算法和近似算法。 $r$ $w_r$ $r, r'$ $k=n$

— 尼古拉斯·曼库索（Nicholas Mancuso）
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这就是我目前的方向，我将对此进行试验并接受解决方案，如果这是我最终使用的解决方案，请加油。

— fightty08”，2015年

2

您可以将其表示为一个巨大的整数线性编程（ILP）实例，然后应用现成的ILP求解器（lp_solve，CPLEX等）。他们将为您提供最佳解决方案。考虑到问题实例的大小，我不知道这是否足够有效，但尝试起来很容易。

这是ILP公式。对于每个可能的矩形，我们都有一个零或一的变量，其预期解释是表示您将矩形包含在集合中，而表示您不包括矩形。您希望最大化目标函数（其中是矩形的利润），但要受并且没有两个矩形重叠的限制。对于所有矩形对，要求可以将后者的限制表示为线性不等式 $x_r$ $r$ $x_r=1$ $r$ $x_r=0$ $\sum_r c_r x_r$ $c_r$ $r$ $\sum_r x_r = n$ $x_r + x_s \le 1$ $r,s$ 重叠。这样，您便获得了ILP。

— DW
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您认为这个问题对NP不利吗？我不认为它没有多重时间解决方案，而且ILP求解器甚至不可能完成中等大小的实例。

— RB

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@RB，我不知道它是否是NP-hard。请参阅我在动态编程问题下的评论，这是我对如何尝试找到多项式时间算法的第一个想法（但我不知道结果算法是否在P中）。就ILP求解器可以做的事情而言，找出答案的唯一方法就是尝试-有时它们的性能可能令人惊讶。

— DW