在最小堆自动机接受的语言反转的情况下证明关闭

这是一个后续问题这一个。

在先前关于奇异状态机的问题中，亚历克斯·十·布林克和拉斐尔谈到了一种特殊的状态机的计算能力：最小堆自动机。他们能够证明这些机器接受的语言集（$HAL$）既不是上下文无关语言集的子集也不是其超集。鉴于已成功解决该问题并对该问题有明显的兴趣，我继续提出几个后续问题。

众所周知，常规语言在各种操作下都是封闭的（我们可能将自己限制为基本操作，例如并集，交点，补码，差，串联，Kleene星号和反转），而上下文无关的语言则具有不同的闭合属性（这些属性在并集，串联，Kleene星号和反向条件下关闭）。

HAL是否在逆转下关闭？

考虑语言 （其中，＃0（X ）表示零的数目X）。

$$L_{\times 2} = \big\{ x\bot y\bot z \mid x,y,z\in \{0,1\}, \#_0(x)=\#_0(y) \text{ and } |x|+|y|=z\big \}$$ $\#_0(x)$$x$

使用HAL机器很容易确定－请注意，该机器需要跟踪两个属性：x vs y中的零个数和x ，y（vs z）的长度。它可以在x中看到的每个零将a推入堆中（然后在y中看到的任何零随后弹出）；另外，它会推动x ，y中的任何位（然后弹出z的任何位）。由于所有s都被压入堆，因此它们不会干扰计数。该$L_{\times 2}$$x$$y$$x,y$$z$0$x$0$y$1$x,y$1$z$10$\bot$ 用作分隔符，实际上可以忽略。

现在，让为反向语言。即， 大号= { ž ⊥ ý ⊥ X | X ，ÿ ，ž ∈ { 0 ，1 } ，＃0（X ）= ＃0（Ý ） 和  | x | + | y | = Z ^ } 我们将证明，没有HAL机器可以决定大号。$L = L_{\times 2}^R$

$$L = \big\{z\bot y \bot x \mid x,y,z\in \{0,1\}, \#_0(x)=\#_0(y) \text{ and } |x|+|y|=z\big \}$$ $L$

直觉如下。如上所述，机器必须同时跟踪的长度和x ，y中的零个数。但是，在这种情况下，需要同时跟踪它们。这不能通过堆来完成。更详细地讲，在读取z之后，堆包含有关|的长度的信息。x | + | y | 。在读取y时，机器还必须在堆中保留y中的零。但是，此信息不会干扰堆在x预期长度上已经具有的信息$z$$x,y$$z$$|x|+|y|$$y$$y$$x$是。非常直观地，关于零个数的信息将在“ x ”的长度信息“之下”$x$，然后我们在读取无法访问它，要么在该信息“之上”，从而使后者不可访问，或者两种信息将“混合”起来，变得毫无意义。$x$

更正式地说，我们将使用某种“泵送”参数。也就是说，我们将接受很长的输入，并表明机器的“状态”必须在处理该输入的过程中重复其自身，这将允许我们在机器重复其“状态”时“替换”输入。

对于形式证明，我们需要简化HAL机器的结构，即它不包含 transitions 1的“循环” 。通过这种假设，我们可以看到，对于机器处理的每个输入符号，堆的内容最多可以增加/减少c （对于足够大的常数c）。$\varepsilon$$^1$$c$$c$

证明。
假设决定L，并考虑足够长的输入（例如，长度为4 n，则| x | = | y | = n，| z | = 2 n，在下文中忽略⊥s）。具体来说，固定z ，y并假定＃0（y ）= n / 2。观察有（$H$$L$$4n$$|x|=|y|=n$$|z|=2n$$\bot$$z,y$$\#_0(y) = n/2$不同X的，使得ž⊥ý⊥X∈大号。${n \choose n/2}$$x$$z\bot y \bot x \in L$

考虑处理后堆的内容。根据我们的假设，它最多包含3个n c个符号（其中每个符号都来自固定的字母Γ）。不过，也有（$z\bot y$$3nc$$\Gamma$不同的X'小号应该被接受（这是实质上比为堆可能的不同内容物的量越大，因为这按指数规律增加，而不同数量的增加堆多项式，见下文）。取两个输入x1，${n \choose n/2}$$x's$应接受的 2，以便满足以下条件：$x_1,x_2$

1. 长度为的x 1的前缀与0的前缀具有不同的零个数$n/2$$x_1$相同的长度。$x_2$
2. 到机器读取x部分长度为的前缀时，x 1和x 2的堆看起来都相同，并且机器处于相同状态（这对于某些x 1必定发生，x 2，对于足够大的n，因为对于x 1，x 2和最多（3.5 c n ）| Γ | | Q有2 个以上0.8 n个不同的选项$n/2$$x$$x_1$$x_2$$x_1,x_2$$n$$2^{0.8n}$$^2$$x_1,x_2$堆内容和状态的不同选项 3）。$(3.5cn)^{|\Gamma|}|Q|$$^3$

很显然，该机器必须接受字，其中X p 1是的前缀X长度的ñ / 2和X 小号2是一个后缀X 2相同的长度。请注意，x p 1 x s 2中的零数目不同于x 1和x 2中的零数目（即，与＃0（$z\bot y \bot x_1^px_2^s$$x_1^p$$x$$n/2$$x_2^s$$x_2$$x_1^px_2^s$$x_1$$x_2$$\#_0(y)$$x_1$$x_2$，因此我们陷入了矛盾。

$^1$
$^2$ ^{$x_1$$n/2$$n/4$$\log {n \choose k} \approx nH(k/n)$ where $H()$ is the Binary entropy funciton. Since $H(1/4) \approx 0.81$ we have ${n \choose n/4} > 2^{0.8n}$ for large enough $n$.}
$^3$ ^{Assuming alphabet $\Gamma$, there are $|\Gamma|^n$ different strings of length $n$, so if this was a stack we were screwed. However, pushing "01" into a heap is equivalent to pushing "10" - the heap stores only the sorted version of the content. The number of different sorted strings of size $n$ is ${n+1 \choose |\Gamma|-1}\approx n^{|\Gamma|}$, for a constant $|\Gamma|$.}