定义非确定性自动机的停止问题

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至少在我自己的参考教科书（Hopcroft + Ullman 1979）中，图灵机（TM）的主要定义是确定性的。

因此，我自己对停止问题的理解主要是确定性TM，尽管我知道可以将其用于其他类型的自动机。

我还注意到，确定性通常或多或少地隐含在人们经常提及TM或暂停问题的方式中。关于停止问题的维基百科页面就是一个很好的例子。

但是，似乎没有理由进行这种限制。给定自动机族可能是不确定的，因此的暂停问题可以定义为： $\mathcal F$ $\mathcal F$

是否存在统一的决策过程，使得在给定自动机和输入，它可以决定是否在输入上停止计算。 $A\in\mathcal F$ $x$ $A$ $x$

（这与说要用输入终止的计算并不完全相同。） $A$ $x$

确实，这似乎是使有关线性有界自动机（LBA）的暂停问题的讨论有意义的唯一方法，而线性有界自动机主要是非确定性自动机。

因此，我的问题是我是否正确，以及这种对不确定性自动机的暂停问题进行明显的第二类治疗的原因（和哪个原因）。

— 巴布
source

如果您认为此问题出了问题，请告诉我们它是什么，以便我们都可以从您的知识中受益，并改善所有用户的帖子。谢谢。

— 2015年

12

我认为，出于某些原因，对于非确定性模型，我们在“停止”问题上投入的精力较少。

首先，实际上，ND模型存在两个相关的停止问题。给定输入和不确定的机器： $x$ $M$

在上存在的有效运行会导致停止吗？ $M$ $x$
在上是否存在有效的且不停止？即所有有效的运行都停止了吗？ $M$ $x$

对于确定性机器，它们是相同的，因为在输入上恰好有一个有效的游程。但是对于非确定性机器，可能会运行多次。您对哪一个感兴趣，取决于您的应用程序。 $M$ $x$

其次，非确定性模型已经是不现实的：它们假设您或者拥有一个告诉您要采取哪条路径的神奇盒子，或者您具有某种形式的无限并行性。由于非确定性和确定性图灵机的功率相同，因此在大多数情况下，您只需将机器转换为确定性图灵机，然后再考虑停止运行即可。

作为对此的扩展，我们不在乎，因为证明非确定性机器的某些知识至少和证明同等确定性机器的某些知识一样困难。我们已经知道，确定性的暂停问题尚无解决方案，因此对它的真正有用之处在于通过减少来证明其他无法确定的问题。减少确定性停止问题总是要花更少的精力，因为它比非确定性问题容易得多。

— 吉米特
source

您声明：“ 但是对于不确定的机器，可能会运行多个。您对哪一个感兴趣，取决于您的应用程序。 ”您能否举例说明该语句？然后您说“ 在担心停止之前，您只是将机器转换为确定性机器 ”。LBA如何完成？

— babou 2015年

LBA是非确定性图灵机的子集，因此可以始终使用常规方法将它们转换为确定性图灵机。我怀疑有一种特殊的构造可用于转换为具有特定属性的机器，因此我们可以保留从LBA获得的额外推理能力。我认为它将看起来像使用线性空间的回溯算法，除了调用堆栈可能成倍地增大（我不确定，我必须查一下）。

— jmite

对于多条路径，请考虑两台机器

，其中一台始终在输入

停止，而一台对于

永不停止。我们可以做一个新的LBA

这将启动非确定性选择一个布尔值。如果选择true，则在输入x上运行

。如果选择false，则在

上运行

。对与错的每种选择都是不同的“运行”。这台机器会停止运行

吗？存在一个在

处暂停的路径，但并不会在所有读取

的路径中都暂停。

M_{1}, M_{2}

$M_1, M_2$

x

$x$

x

$x$

M

$M$

M_{1}

$M_1$

M_{2}

$M_2$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— jmite

1

@HendrikJan似乎通过Savitch 定理解决了NLBA的停止。但是它将线性边界更改为二次边界。

— babou 2015年

1

@Raphael我的意思是，要显示问题

不确定，您可以使用

来模拟另一个不确定的问题。由于从DTM到NTM有一个简单的内射映射，因此从NTM暂停中获得的任何减少也从DTM暂停中得到的减少。通常，减少DTM暂停会减少工作量，因为这是您要模拟的难度较小的问题。

P

$P$

P

$P$

— jmite 2015年

4

停机问题是典型的 -complete问题，因为它可以如表示： $\Sigma_1$

。 $H(P,x) \leftrightarrow \exists c \, \text{ s. t. $c$ is a halting computing of $P$ on $x$}$

这表明您的定义是正确的。在一般情况下，每一个 -完整的定义是“正确的”。 $\Sigma_1$

— Yuval Filmus
source

不幸的是，我对算术层次结构几乎一无所知。我在的理解是正确的

代表半可判定的问题？怎么样：

Σ_{1}

$\Sigma_1$

。我之所以问，是因为存在性量化和通用性量化似乎以不同的类别结束，但这对我来说都是朦胧的。

也是半确定的。

K (P, x) \leftrightarrow \forall c, c is a computing of P on x ⟹ c is halting.

$K(P,x)\leftrightarrow\forall c, c\text{ is a computing of $P$ on $x\implies c$ is halting.}$

K

$K$

— babou 2015年

那就是我害怕你会回答的问题。我之所以问是因为我认为我对此有一个半决定性的程序。因此，要么我的证明是错误的，要么是我的问题形式不正确。基本上是jmite的建议，可以通过要求对

所有计算都停止来定义对输入

非确定性停止。我相信到目前为止，我对此还没有决定。

x

$x$

x

$x$

— babou 2015年

实际上，由于另一个原因，您的定义不好：“

正在停止”是什么意思？您的意思是

，它只是先验的，只是一个不完整的计算，实际上是完整的。在这种情况下，

永远不会为真，因为您可以将

设为空计算。在任何其他情况下，都不清楚

的描述是有限的，也不清楚

的谓词是可计算的。

c

$c$

c

$c$

K (P, x)

$K(P,x)$

c

$c$

c

$c$

c

$c$

— Yuval Filmus 2015年

所以其实这个问题是在

，但可能不会

-complete。

Π_{1}

$\Pi_1$

Π_{1}

$\Pi_1$

— Yuval Filmus 2015年

谢谢，对不起我的幼稚阅读。我以为您使用的

代表“完整”计算，这显然是量化域上的错误。我猜一个人只能使用可数的域，而不确定性TM的一组非暂停计算不合格。我也猜想这些量词告诉我们可计算性可能有多差，但不能保证它是如此糟糕。因此，似乎jmite的提议不容易以所需的“格式”直接表达，但是我的半判定程序可能是正确的。

c

$c$

— babou 2015年

2

您说的是不确定性机器的暂停问题的“明显的第二类处理”。确实，直到图灵斯创建确定性TM之后很久才对非确定性进行历史考虑，这可能与该领域的研究重点有关。然而，这里的要点是，可以将非确定性问题轻松地简化为确定性问题，因此人们只需“不失一般性”地研究确定性问题。

此外，为了对抗“第二类”的想法，这里至少有一篇参考/论文，研究非确定性机器的停机问题，并找到了有用的/深层的联系。一些间接证据表明，CS研究是如此的庞大/专业，有时在大多数领域已经进行了一些起步研究，甚至看似狭窄，并且可能几乎毫无意义或分裂以对不同问题进行重要性排名。恰恰相反，在CS中，不确定性似乎是一个非常深刻/无处不在/跨领域的概念（诸如P与NP等关键的开放性问题都在其中），而且这一方面很可能会持续很长时间。

参数化停止问题 / Chen，Flum

抽象。参数化问题p-Halt将不确定的图灵机M和自然数n作为输入，M的大小为参数。它询问是否在空的输入磁带上接受M的每个步数都超过n个步骤。如果存在确定算法的问题，则该问题属于XPuni类，即“统一XP”类，对于固定机器M，该算法在n的时间多项式中运行。事实证明，理论计算机科学不同领域的各种开放性问题与p-Halt∈XPuni相关或什至等效。因此，该陈述形成了一个桥梁，该桥梁允许在乍一看似乎无关的不同领域的陈述（证明理论，复杂性理论，描述性复杂性……）之间得出等价关系。如我们的演示所示，

— z
source

2

简而言之

除了经典的停顿问题可以回答一些主要的数学问题（例如Entscheidungsproblem问题），而变体只不过是变体而已的事实，似乎没有充分的理由忽略不是确定性Turing机器经典的设置中的停顿问题。有趣的（？）技术问题，但对基础的影响较小。

在回顾了先前答案中给出的一些论据之后，我分析了jmite的两个建议并进行了比较，以确定了在不确定自动机情况下“不确定性 ”暂停的可能定义。问题不是要定义暂停对于单个计算意味着什么，而是对于给定输入上给定非确定性自动机的可能计算集应该意味着什么。然后，可以将其用作在不确定的自动机上定义暂停问题的基础。 $A$ $x$

根据jmite的回答，可以将这种不确定的暂停定义为对应于至少一个暂停计算的存在（existential halting），或者要求所有可能的计算都停止（通用暂停）。这两个定义对应于不确定性停止问题的两个不同定义。

我表明，对于图灵机，这两个定义对应于通过燕尾榫确定机器的两种不同方式。由此，我推断，不确定性停机问题的两个变体都图灵等同于传统的确定性停机问题。

但是，我还表明，这些停止的定义均与图灵机识别的语言的相应定义直接相关，并且可以在选择一致的定义的情况下简单地表达这种关系。

因此，给定非确定性自动机识别的语言的常规定义，如原始问题中所提出的那样，非确定性停止的自然定义是存在性停止。

尽管燕尾式结构通常在比图灵机功能更弱的家族中不可用，但是大多数这种分析自然会扩展到其他类型的自动机。

介绍

我将其写为答案，因为考虑到现有答案，它在经过更多思考之后部分回答了我的问题。另外，在这种情况下，在三个答案之后编辑我的问题可能会使问题感到困惑，我宁愿将问题保留为最初编写的内容以避免这种情况。

我首先讨论我对给定答案的不同意见。关键不是要冒失公平地回答我的问题（感谢所有回答），而是要通过讨论或争辩技术点来解决问题的根源。

我认为原始问题几乎不需要上下文或动机。暂停问题是我们一方面问有关自动机的主要问题之一，而不确定性则是许多自动机非常普遍和有用的功能之一。此外，不确定性不仅是简化证明的通用理论工具，而且至少在撰写本文时，它还是一些自动机族的基本特征，例如线性有界自动机（LBA）。

因此，很自然地想知道，暂停问题是否具有含义，或具有优选的含义，在非确定性自动机的情况下，其原因以及原因。

非确定性的暂停问题是否得到了很好的解决？

我的问题想知道为什么不确定性自动机的停顿问题似乎得到了二等治疗，这确实引起了反对和vzn的回答。vzn的回答实际上是一个很长的评论，坚持认为“不确定性似乎是CS中非常深刻的/无处不在的/跨领域的概念。“这是我从未怀疑的地方。它还为非确定性机器的停机研究提供了一些参考，这并不奇怪，但并没有真正解决我的观点。我的意思是，我并不记得实际上看到了旨在解决停机问题的定义在非确定性机器上，虽然我确实读过一些文献，但在我的参考教科书（Hopcroft + Ullman 1979）中却没有涉及到AFAIK，这在人们的脑海中似乎隐含着他们正在考虑确定性自动机，通常是图灵参考定义是确定性的机器。

例如，在问题LBA为何可以决定停止问题？时，Yuval Filmus在回答中忘记了 LBA是非确定性的设备，但他用4个字的注释很好地保存了他的回答。

作为该问题在总体上没有得到很好解决（尽管进行了一些专门研究）的最后见证，我称这个问题必须在此处进行讨论。

jmite的答案是唯一试图解释为什么可能无法很好解决的答案。他的第一个论点是有两个可能的定义，但我认为这种情况应该鼓励更多的分析以确定哪个定义最合适。我尝试在下面这样做。

他还建议，由于非确定性TM总是可以转换为等效的确定性TM，因此不必担心在非确定性情况下暂停问题。我没有完全确信，但是许多人可能将其视为一个很好的理由。但是，该论点不适用于线性有界自动机（LBA），因为确定性LBA是否等同于不确定性LBA仍然是一个悬而未决的问题。还有其他一些自动机家族，其确定性亚家族比整个不确定性家族（例如PDA）弱。

我也不同意最后一点，声称我们不应该担心不确定性暂停，因为确定性机器更容易证明。拉斐尔在评论中对此表示反对：“ 我通常发现更轻松地解决难题。” 实际上，对于许多类型的自动机，不确定性版本主要用于简化证明，例如简化为该类型的自动机。jmite本人建议，还可以使用两种形式的停止，甚至可以认为是一种优势，因为它为解决问题提供了更大的灵活性。

关于不确定性停止问题的定义

_{注意：以下文字中的“通用”一词是指通用量化，而不是指通用图灵机}

jmite的答案是最详细的。

这个答案推测非确定性自动机可以在停止问题上花费更少的精力，因为它可以通过两种不同的方式进行定义（术语是我的）：

$M$ $x$
$M$ $x$

我认为适当的唯一定义是存在性停止。

$x$

证明：这可以很容易地用柯尼格引理证明，因为在每个步骤中，可能的不确定性选择的数量对于给定的自动机是有界的。如果有无限多的停止计算，我们可以用指向它的每条计算路径标记每个配置，这将使计算图具有无限多个节点，但每个节点只有有限的不确定性分支。根据柯尼格引理，这意味着存在无限的计算路径，对应于不间断的计算。

（不确定）图灵机的情况

因此，现在让我们研究一下非确定性图灵机（NTM）的暂停。

要分析这两个定义，最简单的方法实际上就是考虑非确定性机器的确定性版本，正如Hendrik Jan回忆的那样，可以通过对所有可能的计算进行合并来实现。

但是，（至少）有两种方法可以使确定化相吻合，尽管通常只考虑一种：

存在的燕尾确定，它并行模拟所有计算，并在其中一个模拟计算终止时终止。
通用燕尾确定，它并行模拟所有计算，并且仅在所有模拟计算终止时才终止。但是可以想象，它可以以某种方式枚举终止计算或对它们进行计数。

主张2：

$M$ $x$ $M_\exists$ $x$
$M$ $x$ $M_\forall$ $x$

$M$ $x$ $M_\forall$ $x$

定理3：确定性TM的停止问题，以及不确定性TM的存在性和普遍性停止问题与图灵等效。

证明：这来自于命题2和确定性TM是非确定性TM的子集，存在性停止和通用停止都简化为简单确定性停止。

因此，从可计算性的角度来看，并且我倾向于从符号推动的角度说，对于不确定的暂停问题，选择哪种定义（存在的或通用的）似乎并不重要。

为什么要选择一个NTM暂停定义，而哪个定义

但是，对于不保留原始自动机识别的语言的确定过程是否有很多意义？

在语言识别中使用非确定性的本质在于，它假设一种预言性的假设，即只要存在会导致被接受的预言，就应该猜测出正确的计算路径，这是一种 从根本上存在的观点。

$\epsilon$

因此，通过暂停接受可以被视为非确定性自动机的典型接受形式。

考虑到这种规范的观点，停止问题也可以等效地表示为识别问题：

$L$ $M$ $x$ $x\in L$

$M$ $x$ $x$ $M$

但是，在万能停止的情况下，这种紧密的联系会丢失。可以做出类似的陈述，但是所用语言与NTM所识别的语言不同（或者对于NTM所识别的语言的不同通用定义）。

在发展理论时，必须使用一致的定义，以便以最简单和最明显的形式强调结构和关系。很明显，在当前情况下，与其他定义的一致性表明 存在性暂停是非确定性图灵机暂停的自然定义。

$x$ $x$

其他自动机家族的情况

上述分析的一部分无法扩展到大多数不确定性自动机家族。例如，下推式atomaton（PDA）可能定义了确定性PDA无法识别的语言。LBA可能也是如此。其他部分可以扩展到所有不确定的族。

关于非确定性停止的定义，即使在图灵机案例中使用的推理可能不可用，似乎唯一明智的选择是采用与非确定性图灵机所使用的定义一致的定义，因此存在性定义。

这些不确定的自动机族的停止问题的定义如下，并且与问题中提出的定义一致。

— 巴布
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