大O：嵌套循环依赖

9

我收到了Big O的作业分配。我受嵌套的for循环的困扰，该循环取决于先前的循环。这是我的作业问题的修改版本，因为我确实很想理解它：

sum = 0;
for (i = 0; i < n; i++ 
    for (j = 0; j < i; j++) 
        sum++;

让我失望的j < i部分是那部分。似乎它几乎像阶乘一样执行，但是要加上。任何提示将不胜感激。

— 拉斐尔
source

尼斯解释这里

— saadtaame

10

因此，让我澄清一些事情，您对big-O表示法感兴趣-这意味着上限。换句话说，可以计算比实际更多的步骤。特别是，您可以将算法修改为

 ...
    for (j = 0; j < n; j++) 
 ...

因此，您有两个嵌套循环，每个循环运行次，这为您提供了的上限 $n$ $O(n^2)$

当然，您希望对上限有一个很好的估计。因此，为了完成，我们要确定一个下限。这意味着可以减少步骤数。所以考虑修改

for (i = n/2; i < n; i++)
    for (j = 0; j < n/2; j++) 
        sum++;

在这里，我们仅执行一些循环迭代。同样，我们有两个嵌套循环，但是这次每个循环有次迭代，这表明我们至少有加法。在这种情况下，我们用表示此渐近下界。由于上下限是重合的，我们甚至可以说是一个紧密的渐近界，我们可以写。 $n/2$ $n^2/4$ $\Omega(n^2)$ $n^2$ $\Theta(n^2)$

如果您想了解更多，请在这里阅读。

— 舒尔茨
source

6

sum = 0;
for (i = 0; i < n; i++)
    for (j = 0; j < i; j++) 
        sum++;

让我们追溯一下：

当i = 0时，内部循环将根本不会运行（0<0 == false）。
当i = 1时，内部循环将运行一次（对于j == 0）。
当i = 2时，内部循环将运行两次。（对于j == 0和j == 1）。

因此，此算法将增加sum以下次数：

\sum_{x = 1}^{n} x - 1 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4... + n - 1 = \frac{n (n - 1)}{2}

$\sum_{x=1}^n x-1 = 0+1+2+3+4... + n-1 = \dfrac{n(n-1)}{2}$

通过检查我们可以看到，总和是一个“三角数”。将分布到分子的其余部分，我们得出，其中增长最快的项是因此Bachman-Landau Big-Theta的复杂度是。 $n$ $\dfrac{n^2-n}{2}$ $n^2$ $\theta(n^2) \equiv O(n^2) \ and\ \Omega(n^2)$

— 基思
source

3

让我们看看我能否解释一下...

所以如果内循环是j

现在，对于第一次迭代，您将通过内部循环执行n-（n-1）次。第二次，您通过内循环执行n-（n-2）次。在第N次，您要进行n-（nn）次，即n次。

如果平均通过内循环的次数，则将为n / 2次。

所以你可以说这是O（n * n / 2）= O（n ^ 2/2）= O（n ^ 2）

那有意义吗？

有点奇怪，但是我想我明白了！谢谢！可能需要花费一些时间才能完全沉入哈哈

因此，如果该j < i部分实际上是j < i^2，则该部分的结果O将为n ^ 2/2？

首先请注意，O（n ^ 2/2）= O（n ^ 2）。现在，如果将其更改为j <i ^ 2，则您在第一次迭代中执行（n-（n-1））^ 2，在最后一次迭代中进行n ^ 2。我不记得内部循环的big-O表示法了。O（n ^ 2）是一个宽松的上限。因此，整个事情的上限是O（n ^ 3），但内部循环小于O（n ^ 2）。那有意义吗？