排序为线性程序

数量惊人的问题使线性编程（LP）的问题自然减少。请参见[1]的第7章中的示例，例如网络流量，二分匹配，零和博弈，最短路径，线性回归形式甚至电路评估！

由于电路评估简化为线性规划，因此任何问题都必须具有线性规划公式。因此，通过简化为线性程序，我们有了一种“新”的排序算法。所以，我的问题是$P$

1. 将对实数数组进行排序的线性程序是什么？$n$
2. Reduce-to-LP-and-solve排序算法的运行时间是多少？

1. 算法由S.达斯古普塔，C. PAPADIMITRIOU和U.瓦齐拉尼（2006）

以下答案基本上等同于您已经知道的答案，但看起来似乎不太“神奇”。另一方面，它是技术性更高的，但是我相信通用技术“将您的问题写为对置换矩阵的优化并调用Birkhoff-von Neumann”是一个很好的知识。

对于置换的限定置换矩阵 为0-1矩阵，使得，如果和否则为。这只是根据置换向量坐标的矩阵：如果则。从现在开始，我将为。{ 1 ，... ，Ñ } P σ P 我Ĵ = 1 Ĵ = σ （我）P 我Ĵ = 0 X σ Ŷ = P σ X Ŷ 我 = X σ （我） Ý = P σ X σ （X $\sigma$$\{1, \ldots, n\}$$P_\sigma$$P_{ij} = 1$$j = \sigma(i)$$P_{ij}=0$$x$$\sigma$$y = P_\sigma x$$y_i = x_{\sigma(i)}$$y=P_{\sigma}x$$\sigma(x)$

还有一个定义：如果 ×的非负矩阵每一行和每一列的总和为1，则它是双随机的。$n\times n$$M$

在组合优化中非常重要的一个事实-Birkhoff-von Neumann定理：

当且仅当矩阵是置换矩阵的凸组合时，即并且当且仅当存在置换和正实数使得和。σ 1，... ，σ ķ α 1，... ，α ķ中号= Σ ķ 我= 1 α 我P σ 我 Σ α 我 = $M$$\sigma_1, \ldots, \sigma_k$$\alpha_1 , \ldots, \alpha_k$$M = \sum_{i = 1}^k{\alpha_i P_{\sigma_i}}$$\sum{\alpha_i} = 1$

注意，不等式定义了一个双重随机矩阵

∀ Ĵ ：Ñ Σ我= 1中号我Ĵ = 1 ∀ 我，Ĵ ：中号我Ĵ ≥

所有这些不等式共同决定了一个多态性，Birkhoff-von Neumann定理指出，该多态性的极点（顶点）都是置换矩阵。从基本的线性规划中，我们知道这意味着任何具有上述不等式作为约束（且没有其他约束）的线性程序都将具有置换矩阵作为最优解。$P$

因此，给定要排序的输入，我们只需要提出一个线性目标：f a（M $a = (a_1, \ldots, a_n)$$f_a(M)$

• $f_a(P_\tau) < f_a(P_\sigma)$如果对排序但对不排序，则。$\sigma(a)$$\tau(a)$

然后制定一个线性程序客观最大化和如上所约束不平等，这样保证了最佳的解决方案是置换矩阵为使得被分类。，当然，它很容易“读出”从。$f_a(M)$$P_\sigma$$\sigma$$\sigma(a)$$\sigma$$P_\sigma$

一种选择是，其中。验证$f_a(M)$$v^T M a$$v = (1, \ldots, n)$

• 在是线性的;$M$
• 对于， ;˚F 一个（P σ）= Σ ñ 我= 1我一个σ （我$P_\sigma$$f_a(P_\sigma) = \sum_{i = 1}^n{i a_{\sigma(i)}}$
• 上述被最大化在为其进行排序（通过矛盾：否则可能切换的两个坐标，实现了更高的值）。σ （一）σ （一$\sigma$$\sigma(a)$$\sigma(a)$

瞧，您有一个用于排序的线性程序。排序似乎很愚蠢，但这实际上是最有效的优化方法。