为什么主定理中存在规则性条件？

我一直在阅读Cormen等人的算法简介。并且我正在阅读从第73页开始的Master定理的陈述。在情况3中，使用定理还需要满足一个正则条件：

... 3.如果

$\qquad \displaystyle f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \varepsilon})$

对于一些恒定，如果$\varepsilon > 0$

$\qquad \displaystyle af(n/b) \leq cf(n)$      [ 这是规律性条件 ]

对于某些常数以及对于所有足够大的，则..$c < 1$$n$

有人可以告诉我为什么需要规律性条件吗？如果不满足条件，定理将如何失败？

不是严格的证明，而是“从头到顶”的解释。

假设递归是一棵树。第三种情况涉及根节点渐近地支配运行时间的场景，即，大部分工作是在递归树顶部的小节点上完成的。那么运行时间为。Θ （f （n ）$aT(n/b)+f(n)$$\Theta(f(n))$

为了确保根目录实际上可以完成更多工作，您需要

$a f(n/b) \leq cf(n)$。

这表示（在根中完成的工作量）至少必须与在较低级别中完成的工作之和一样大。（递归在输入的上被调用。）a n /$f(n)$$a$$n/b$

例如，对于递归，在根下方的水平上的功是根的四分之一，并且只进行了两次而不是因此根占主导地位。$T(n)=2T(n/4)+n$$(n/4+n/4)$$n$

但是，如果函数不满足规则性条件怎么办？例如而不是？然后，在较低级别完成的工作可能会比在根目录中完成的工作更大，因此您不确定根目录是否占主导地位。$\cos(n)$$n$

令和b = 2，使得 T （2 n）= n ∑ k = 0 f （2 k）。 对于情况3应用，我们需要˚F （Ñ ）= Ω （Ñ ε）（对于某些ε > 0）和正则条件，˚F （Ñ / 2 ）≤ （1 - δ ）$a = 1$$b = 2$

$$T(2^n) = \sum_{k=0}^n f(2^k).$$ $f(n) = \Omega(n^\epsilon)$$\epsilon > 0$（对于某些 δ > 0）。您可以从证明中获得规则性条件，即，这是证明产生的概念。尽管不需要规则性条件（请考虑Wikipedia上给出的示例， f （n ）= n （2 - cos n ）），但不能完全删除它，如以下示例所示。考虑 ˚F （2 Ñ）= 2 2 ⌊ 登录2 Ñ ⌋ > 2 2 日志2 Ñ $f(n/2) \leq (1-\delta) f(n)$$\delta > 0$$f(n) = n(2-\cos n)$ 让Ñ=2米+1-1。然后 Ť（2Ñ）=米Σ ķ = 0 2 ķ + 1 - 1 Σ吨= 2 ķ 2 2 ķ =米Σ ķ = 0 2 2 ķ +ķ=Θ（2 2 米 $$f(2^n) = 2^{2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}} > 2^{2^{\log_2n-1}} = 2^{n/2}.$$ $n = 2^{m+1}-1$ 因此 T （2 n）= Θ （f （2 n））是不正确的。 $$T(2^n) = \sum_{k=0}^m \sum_{t=2^k}^{2^{k+1}-1} 2^{2^k} = \sum_{k=0}^m 2^{2^k+k} = \Theta(2^{2^m+m}), \quad f(2^n) = 2^{2^m}.$$ $T(2^n) = \Theta(f(2^n))$

有一个更通用的定理Akra-Bazzi，其中将规律性条件替换为结果中所含的明确量。